2022—2023 学年第一学期期末考试卷

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#真题

本卷日期为 2022 年 12 月 28 日，共七道大题。除第一题必须依赖结构图外，其余题面均用 Markdown/KaTeX 复刻，不使用整页截图。

一、复杂结构图传递函数

已知系统结构如下，求传递函数 C(s)/R(s)C(s)/R(s)。

2022 自控期末第一题结构图

查看方程法推导

给结构图中三个综合点后的信号依次命名。设 qq 为 G2G_2 的输入，则

C=G2q.C=G_2q.

第二个综合点的输出为

z=(1+G3)R−H2C−H1q.z=(1+G_3)R-H_2C-H_1q.

第三个综合点还减去外反馈 H3CH_3C：

q=G1z−H3C.q=G_1z-H_3C.

代入 C=G2qC=G_2q：

q(1+G1H1+G1G2H2+G2H3)=G1(1+G3)R.q\left(1+G_1H_1+G_1G_2H_2+G_2H_3\right) =G_1(1+G_3)R.

所以

C(s)R(s)=G1G2(1+G3)1+G1H1+G1G2H2+G2H3.\boxed{ \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G_1G_2(1+G_3)} {1+G_1H_1+G_1G_2H_2+G_2H_3} }.

这类多回路题用中间变量列信号方程，通常比连续移动综合点更不容易漏传递函数。

二、Routh 判据、左移稳定区域与稳态误差

开环传递函数为

G(s)=Ks(s/3+1)(s/6+1)=18Ks(s+3)(s+6).G(s)=\frac{K}{s(s/3+1)(s/6+1)} =\frac{18K}{s(s+3)(s+6)}.
  1. 若要求闭环系统稳定，求 KK 的范围；
  2. 若要求闭环特征方程所有根的实部小于 −1-1，求 KK 的范围；
  3. 当 K=3K=3 时，计算单位斜坡 r(t)=tr(t)=t 作用下的稳态误差，其中 e(t)=r(t)−c(t)e(t)=r(t)-c(t)。
查看三问答案

闭环特征多项式：

D(s)=s3+9s2+18s+18K.D(s)=s^3+9s^2+18s+18K.

对三阶多项式列 Routh 表，稳定条件为系数为正且

9×18>18K.9\times18>18K.

所以

0<K<9.\boxed{0<K<9}.

若要求所有根实部小于 −1-1，令

s=z−1.s=z-1.

要求关于 zz 的新多项式 Hurwitz：

D(z−1)=z3+6z2+3z+(18K−10).D(z-1)=z^3+6z^2+3z+(18K-10).

Routh 条件为

18K−10>0,18K-10>0, 6×3>18K−10.6\times3>18K-10.

因此

59<K<149.\boxed{\frac59<K<\frac{14}{9}}.

K=3K=3 时系统为 I 型，速度误差系数

Kv=lim⁡s→0sG(s)=K=3.K_v=\lim_{s\to0}sG(s)=K=3.

单位斜坡稳态误差

ess=1Kv=13.\boxed{e_{ss}=\frac1{K_v}=\frac13}.

三、三极点系统根轨迹

G(s)=K∗s(s+1)(s+2).G(s)=\frac{K^*}{s(s+1)(s+2)}.
  1. 按步骤绘制 K∗K^* 从 0 增至 +∞+\infty 时的闭环根轨迹；
  2. 当主导极点阻尼比为 0.7070.707 时，计算系统阶跃响应在 2% 误差带下的调节时间。
查看根轨迹数据与调节时间

开环极点为 0,−1,−20,-1,-2，无零点。根轨迹数据：

  • 实轴段：(−∞,−2](-\infty,-2] 与 [−1,0][-1,0]；
  • 三条无穷远渐近线重心：
σa=0−1−23=−1;\sigma_a=\frac{0-1-2}{3}=-1;
  • 渐近线角度：60∘,180∘,300∘60^\circ,180^\circ,300^\circ；
  • 分离点候选
s=−1±13,s=-1\pm\frac1{\sqrt3},

其中只有

s=−1+13≈−0.423s=-1+\frac1{\sqrt3}\approx-0.423

位于合法实轴段；

  • Routh 表给出稳定范围 0<K∗<60<K^*<6；K∗=6K^*=6 时轨迹穿过 ±j2\pm j\sqrt2。

当 ζ=0.707≈1/2\zeta=0.707\approx1/\sqrt2 时，主导极点在 45° 阻尼线上。设

s=−x±jx.s=-x\pm jx.

代入特征方程

s3+3s2+2s+K∗=0s^3+3s^2+2s+K^*=0

的虚部，合法交点满足

x=3−52≈0.382.x=\frac{3-\sqrt5}{2}\approx0.382.

因为 ζωn=x\zeta\omega_n=x，2% 调节时间二阶近似为

ts≈4x≈10.47 s.\boxed{t_s\approx\frac4x\approx10.47\text{ s}}.

第三极点约在 −2.236-2.236，比主导极点更靠左，二阶近似具有一定合理性。

四、Bode 图与相位裕度

G(s)=20(s+1)s(0.2s+1).G(s)=\frac{20(s+1)}{s(0.2s+1)}.

绘制系统的渐近对数幅频曲线和对数相频曲线，并计算相稳定裕度。

查看渐近线与裕度

组成环节：比例 20、积分环节、转折频率 1 rad/s 的零点、转折频率 5 rad/s 的极点。

渐近幅频斜率依次为：

  • ω<1\omega<1：−20-20 dB/dec；
  • 1<ω<51<\omega<5：0 dB/dec；
  • ω>5\omega>5：−20-20 dB/dec。

高频渐近式给出增益截止频率约

ωc≈100 rad/s.\omega_c\approx100\text{ rad/s}.

相位为

ϕ(ω)=−90∘+arctan⁡ω−arctan⁡(0.2ω).\phi(\omega)= -90^\circ+\arctan\omega-\arctan(0.2\omega).

代入 ωc≈100\omega_c\approx100：

γ=180∘+ϕ(ωc)≈92.3∘.\gamma=180^\circ+\phi(\omega_c) \approx92.3^\circ.

精确截止频率约 99.88 rad/s，与渐近估计非常接近。

五、Nyquist 判据求增益范围

G(s)=Ks(s2+2s+4),K>0.G(s)=\frac{K}{s(s^2+2s+4)}, \qquad K>0.

利用 Nyquist 判据确定使闭环系统稳定的 KK 的范围。

查看稳定范围

闭环特征多项式为

s3+2s2+4s+K.s^3+2s^2+4s+K.

Nyquist 的临界边界也可由令 s=jωs=j\omega 求出。虚部为

−ω3+4ω=0,-\omega^3+4\omega=0,

非零解 ω=2\omega=2；实部条件给

−2ω2+K=0⟹K=8.-2\omega^2+K=0 \Longrightarrow K=8.

开环没有右半平面极点，KK 从正值增大到 8 时闭环首次到达虚轴。因此

0<K<8.\boxed{0<K<8}.

K=8K=8 为临界稳定，闭环含 ±j2\pm j2 极点。用 Routh 表也得到同一范围，可作为复核。

六、可控、可观、两种稳定性与极点配置

A=[0100016−1−4],B=[001],C=[−110].A= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 6&-1&-4 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}, \quad C= \begin{bmatrix}-1&1&0\end{bmatrix}.
  1. 判断系统的可控性和可观测性，并说明理由；
  2. 判断系统是否渐近稳定，并说明理由；
  3. 求传递函数 Y(s)/U(s)Y(s)/U(s)，并判断是否 BIBO 稳定；
  4. 判断能否通过状态反馈把闭环极点配置为 {−1,−2,−3}\{-1,-2,-3\}；若能，求状态反馈矩阵。
查看四问答案

这是可控标准形，或直接计算可控矩阵可得满秩 3，因此 (A,B)(A,B) 可控。

可观矩阵为

O=[−1100−116−1−5].\mathcal O= \begin{bmatrix} -1&1&0\\ 0&-1&1\\ 6&-1&-5 \end{bmatrix}.

其秩为 2，所以系统不可观。

AA 的特征多项式：

s3+4s2+s−6=(s−1)(s+2)(s+3).s^3+4s^2+s-6 =(s-1)(s+2)(s+3).

存在右半平面特征值 1，故内部不渐近稳定。

传递函数：

G(s)=s−1(s−1)(s+2)(s+3)=1(s+2)(s+3).G(s)=\frac{s-1}{(s-1)(s+2)(s+3)} =\frac1{(s+2)(s+3)}.

约分后极点都在左半平面，所以 BIBO 稳定。不稳定模式 s=1s=1 因不可观而被对消。

系统可控，可以把闭环极点配置为 −1,−2,−3-1,-2,-3。期望多项式为

(s+1)(s+2)(s+3)=s3+6s2+11s+6.(s+1)(s+2)(s+3)=s^3+6s^2+11s+6.

令 K=[k1,k2,k3]K=[k_1,k_2,k_3]，比较 A−BKA-BK 的特征多项式系数，得到

K=[12102].\boxed{K=\begin{bmatrix}12&10&2\end{bmatrix}}.

七、证明观测器反馈组合系统不可控

设单输入单输出系统

x˙=Ax+bu,y=cx,x∈Rn\dot x=Ax+bu, \qquad y=cx, \qquad x\in\mathbb R^n

既可控又可观。使用观测器估计 x^\hat x 形成状态反馈

u=v−Kx^,u=v-K\hat x,

观测器为

x^˙=(A−Hc)x^+bu+Hy.\dot{\hat x}=(A-Hc)\hat x+bu+Hy.

证明由观测器和状态反馈构成的增广闭环系统不可控。

查看证明

定义观测误差

x~=x−x^.\tilde x=x-\hat x.

使用

u=v−Kx^=v−Kx+Kx~u=v-K\hat x=v-Kx+K\tilde x

后，对象和误差方程为

x˙=(A−BK)x+BKx~+Bv,\dot x=(A-BK)x+BK\tilde x+Bv, x~˙=(A−HC)x~.\dot{\tilde x}=(A-HC)\tilde x.

因此以 [xT,x~T]T[x^T,\tilde x^T]^T 为增广状态：

[x˙x~˙]=[A−BKBK0A−HC][xx~]+[B0]v.\begin{bmatrix}\dot x\\\dot{\tilde x}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A-BK&BK\\ 0&A-HC \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\\tilde x\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}B\\0\end{bmatrix}v.

外部输入 vv 对观测误差子系统的输入块恒为 0；x~\tilde x 的初态无法由 vv 任意驱动。因此这个 2n2n 维增广实现至少有 nn 维不可控子空间，整体不可控。

这不与原对象 (A,B)(A,B) 可控矛盾：不可控的是把观测器误差也纳入后的冗余增广实现。分离原理仍保证闭环极点由 A−BKA-BK 和 A−HCA-HC 两组极点组成。

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