期末速成：自动控制基础

自动控制的题目看起来方法很多：Routh、根轨迹、Bode、Nyquist、状态空间、可控可观。它们其实都围绕同一件事：怎样通过系统模型判断动态行为，并设计反馈让系统稳、准、快。

考前最有用的不是孤立背公式，而是知道一张题该走哪条链：

$$\text{结构或微分方程} \rightarrow\text{模型} \rightarrow\text{闭环极点} \rightarrow\text{稳定性与性能} \rightarrow\text{反馈设计}.$$

一、整门课的四条主线

题目给出的对象	常用方法	最终回答
传递函数、多项式	Routh、根轨迹	极点位置、稳定增益范围、动态指标
$G(j\omega)$ 或 Bode 图	Bode、Nyquist	稳定性、相位裕度、增益裕度、带宽
$\dot x=Ax+Bu$	矩阵指数、可控可观判据	状态响应、内部结构、能否配置极点
结构图	信号方程、等效变换、Mason	$C(s)/R(s)$ 或误差传递函数

一个非常重要的分界：

• 传递函数只描述输入到输出的外部行为，可能发生极零对消；
• 状态空间保留所有内部模态，所以能讨论不可控、不可观和内部不稳定。

二、建模与结构图

1. 传递函数的前提

在线性定常系统、零初始条件下，传递函数定义为

$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}.$$

它只由系统参数决定，与具体输入无关。若初值不为零，状态响应还包含自由响应，不能只写 $Y=GU$ 就结束。

2. 典型负反馈

前向通道 $G(s)$、反馈通道 $H(s)$ 的负反馈闭环传递函数是

$$\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}.$$

特征方程是

$$1+G(s)H(s)=0.$$

几乎所有经典控制的稳定性和根轨迹分析，最终都落到这个分母。

3. 复杂结构图别硬移方块

可靠方法是给每个综合点后的信号命名，然后逐个写代数方程。例如：

$$e=r-hc,\qquad x=G_1e,\qquad c=G_2x,$$

再消去中间变量。这样比连续移动综合点更不容易漏掉支路增益或反馈符号。

Mason 公式适合信号流图：

$$\frac{C}{R}=\frac{\sum_kP_k\Delta_k}{\Delta},$$ $$\Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots,$$

其中后一项只累加互不接触的回路乘积。最常见失误是把接触回路也乘进 $\Delta$。

三、时域分析：稳、准、快

1. 标准二阶系统

标准闭环形式为

$$\Phi(s)=\frac{\omega_n^2} {s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}.$$

• $\omega_n$ 主要决定时间尺度；
• $\zeta$ 决定振荡与超调；
• $0<\zeta<1$ 为欠阻尼；
• $\zeta=1$ 为临界阻尼；
• $\zeta>1$ 为过阻尼。

欠阻尼时

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2},$$ $$M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}},$$ $$t_p=\frac{\pi}{\omega_d}, \qquad t_s\approx\frac4{\zeta\omega_n}\quad(2\%\text{ 误差带}).$$

这些近似只适合由一对主导二阶极点决定的响应；高阶系统要先确认其余极点足够靠左。

2. Routh 判据

Routh 判据不直接求根，而由特征多项式系数构造表格。第一列符号变化次数等于右半平面根数；第一列全同号且无特殊退化时，系统 Hurwitz 稳定。

三阶多项式

$$a_3s^3+a_2s^2+a_1s+a_0$$

稳定的常用条件是

$$a_i>0, \qquad a_2a_1>a_3a_0.$$

要求所有根实部小于 $-\sigma$ 时，做平移

$$s=z-\sigma,$$

再对关于 $z$ 的新多项式使用 Routh。符号方向要想清：$\operatorname{Re}(s)<-\sigma$ 对应 $\operatorname{Re}(z)<0$。

3. 稳态误差

误差传递函数确定后，用终值定理

$$e_{ss}=\lim_{t\to\infty}e(t) =\lim_{s\to0}sE(s),$$

前提是相关闭环系统稳定。

单位负反馈下的静态误差系数：

$$K_p=\lim_{s\to0}G(s), \qquad K_v=\lim_{s\to0}sG(s), \qquad K_a=\lim_{s\to0}s^2G(s).$$

对应阶跃、斜坡、抛物线输入：

$$e_{ss}^{\text{step}}=\frac1{1+K_p}, \quad e_{ss}^{\text{ramp}}=\frac1{K_v}, \quad e_{ss}^{\text{parabolic}}=\frac1{K_a}.$$

系统型别由开环原点极点个数决定，但不要忘记先约分并确认闭环稳定。

四、根轨迹：参数变化时闭环极点往哪里走

对

$$1+KG_0(s)=0,$$

根轨迹上的点满足：

$$\angle G_0(s)=(2k+1)\pi, \qquad K=\frac1{|G_0(s)|}.$$

标准作图步骤

1. 标开环极点 ×、零点 ○；分支数等于极点数；

2. 分支从开环极点出发，终止于零点或无穷远；

3. 实轴上某点右侧实极点和实零点总数为奇数时，该点在根轨迹上；

4. 若极点数 $n$、零点数 $m$，有 $n-m$ 条渐近线：

   $$\theta_k=\frac{(2k+1)180^\circ}{n-m},$$ $$\sigma_a=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m};$$

5. 由 $K(s)=-1/G_0(s)$ 解 $dK/ds=0$，筛选合法分离点；

6. 用 Routh 或令 $s=j\omega$ 找虚轴交点；

7. 必要时再算出射角、入射角和指定阻尼线交点。

求指定阻尼比时，候选极点位于

$$\zeta=-\frac{\operatorname{Re}(s)}{|s|}$$

对应的射线上。先用角度条件找交点，再用幅值条件求 $K$。

五、频域分析：看每个频率被放大多少、滞后多少

1. 频率特性

稳定 LTI 系统输入 $A\sin\omega t$ 后，稳态输出仍是同频正弦：

$$y_{ss}(t)=A|G(j\omega)| \sin\left(\omega t+\angle G(j\omega)\right).$$

所以 $|G(j\omega)|$ 是幅值放大倍数，$\angle G(j\omega)$ 是相位改变。

2. Bode 图速画

先把传递函数写成标准因子：

$$K\frac{(1+s/\omega_{z1})\cdots} {s^q(1+s/\omega_{p1})\cdots}.$$

幅频渐近线规则：

• 比例 $K$：整体平移 $20\log_{10}K$ dB；
• 每个原点极点：从一开始增加 $-20$ dB/dec；
• 每个一阶零点：过转折频率后斜率增加 $20$ dB/dec；
• 每个一阶极点：过转折频率后斜率减少 $20$ dB/dec。

相位要按各因子相加。对 $1+j\omega/\omega_0$，相位是 $+\arctan(\omega/\omega_0)$；放在分母则取负。

3. 稳定裕度

增益交叉频率 $\omega_c$ 满足

$$|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1.$$

相位裕度

$$\gamma=180^\circ+\angle G(j\omega_c)H(j\omega_c).$$

相位交叉频率 $\omega_g$ 满足相位为 $-180^\circ$，增益裕度为

$$h=\frac1{|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|},$$

或以 dB 写成 $-20\log_{10}|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|$。

4. Nyquist 判据

令

• $P$：开环右半平面极点数；
• $N$：Nyquist 曲线对 $-1$ 点的逆时针净环绕数，逆时针一圈记 $+1$、顺时针一圈记 $-1$；
• $Z$：闭环右半平面极点数。

在上述方向约定下，Nyquist 关系为

$$N=P-Z, \qquad\text{等价地}\qquad Z=P-N.$$

因此闭环稳定要求 $Z=0$，也就是曲线对 $-1$ 点的逆时针净环绕数满足 $N=P$。若教材把顺时针规定为正方向，$N$ 的符号和公式会相应改变；考试时必须把“方向约定—关系式—稳定条件”成套使用，不能只背一个孤立符号。

若只求稳定边界，常可令闭环特征方程中的 $s=j\omega$，分别令实部和虚部为零，先求临界频率和临界增益，再结合小增益处的稳定性判断区间。

六、状态空间与状态转移矩阵

连续时间 LTI 系统：

$$\dot x=Ax+Bu, \qquad y=Cx+Du.$$

状态响应为

$$x(t)=e^{At}x(0) +\int_0^te^{A(t-\tau)}Bu(\tau)\,d\tau.$$

状态转移矩阵 $\Phi(t)=e^{At}$ 满足

$$\Phi(0)=I, \qquad \Phi(t_1+t_2)=\Phi(t_1)\Phi(t_2), \qquad \dot\Phi=A\Phi.$$

计算 $e^{At}$ 的常见方法：

• 对角化 $A=V\Lambda V^{-1}$：$e^{At}=Ve^{\Lambda t}V^{-1}$；
• Cayley–Hamilton：把高次幂降到 $I,A,\ldots,A^{n-1}$；
• Laplace 反变换：$e^{At}=\mathcal L^{-1}\{(sI-A)^{-1}\}$。

七、可控性、可观测性与两种稳定性

1. 可控性

可控矩阵

$$\mathcal C=[B,AB,\ldots,A^{n-1}B].$$

系统完全可控当且仅当

$$\operatorname{rank}\mathcal C=n.$$

可控意味着输入能在有限时间把状态从任意初态驱动到任意终态，也是状态反馈任意配置全部极点的条件。

2. 可观测性

可观矩阵

$$\mathcal O= \begin{bmatrix} C\\CA\\\vdots\\CA^{n-1} \end{bmatrix}.$$

系统完全可观当且仅当 $\operatorname{rank}\mathcal O=n$。可观表示有限时间的输入输出记录足以唯一恢复初始状态。

3. PBH 判据

对每个特征值 $\lambda$：

$$\operatorname{rank}[\lambda I-A,\ B]=n$$

对应可控；

$$\operatorname{rank} \begin{bmatrix} \lambda I-A\\C \end{bmatrix}=n$$

对应可观。PBH 特别适合判断某个具体模态是否可控或可观。

4. 内部稳定不等于 BIBO 稳定

• 内部渐近稳定：$A$ 的所有特征值实部为负；
• BIBO 稳定：最小传递函数的所有极点实部为负。

如果一个不稳定模态不可控或不可观，它可能在传递函数中被极零对消，于是出现“内部不稳定但 BIBO 稳定”。因此看到约分必须警惕：约掉的不只是代数因子，可能是被输入或输出隐藏的内部模态。

最小实现要求系统既可控又可观。

八、状态反馈与观测器

状态反馈

$$u=v-Kx$$

使闭环矩阵变为

$$A-BK.$$

若 $(A,B)$ 完全可控，可以任意配置 $A-BK$ 的全部极点。单输入可控标准形可直接比较期望特征多项式系数；一般情形可用 Ackermann 公式或标准软件算法。

全阶观测器：

$$\dot{\hat x}=A\hat x+Bu+H(y-C\hat x).$$

误差 $\tilde x=x-\hat x$ 满足

$$\dot{\tilde x}=(A-HC)\tilde x.$$

若 $(A,C)$ 可观，可以任意配置 $A-HC$ 的极点。观测器通常比控制器快一些，但过快会放大噪声和模型误差。

分离原理：观测器状态反馈闭环的极点由

$$\operatorname{eig}(A-BK) \cup \operatorname{eig}(A-HC)$$

组成，控制器和观测器可以分别设计。

九、Lyapunov 稳定性

若能找到正定函数 $V(x)$，并使

$$\dot V(x)<0\qquad(x\ne0),$$

则平衡点渐近稳定。线性系统常取

$$V=x^TPx, \qquad P=P^T>0.$$

其导数为

$$\dot V=x^T(A^TP+PA)x.$$

若对任意给定 $Q=Q^T>0$，Lyapunov 方程

$$A^TP+PA=-Q$$

存在正定解 $P$，则 $A$ Hurwitz。

十、考场作答顺序

经典控制计算题

1. 写闭环特征方程；
2. 说明使用 Routh、根轨迹还是频域判据；
3. 列关键中间量，不只写最终范围；
4. 边界值单独判断是稳定、临界还是不稳定；
5. 算动态指标前确认二阶主导近似成立。

状态空间综合题

按固定顺序做最不容易乱：

1. 求 $A$ 的特征值，判断内部稳定；
2. 算 $\mathcal C$ 的秩，判断可控；
3. 算 $\mathcal O$ 的秩，判断可观；
4. 求 $G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$，观察是否约分；
5. 判断 BIBO 稳定并解释与内部稳定是否一致；
6. 只有可控时才配置全部状态反馈极点；
7. 只有可观时才任意配置观测器极点。

最后检查单位和符号：$K$ 是否要求大于 0、反馈是正还是负、相位裕度用度还是弧度、调节时间是 2% 还是 5% 误差带。控制题最常见的失分并不是不会方法，而是在最后一步把约定混用了。