2023—2024 学年期末试题

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#真题

源题面 DOCX 的页眉写成“2024—2025 学年第 1 学期”，但卷内日期为 2024 年 1 月 4 日，配套答案标题也标作 2023 年期末。因此这里按实际考试学年整理为 2023—2024 学年期末试题，不沿用模板中的冲突年份。

题目 1：圆上的非均匀振子（5 分）

求圆周系统

θ˙=12−sin⁡θ\dot\theta=\frac12-\sin\theta

的奇点，判断稳定性，并画出相图。

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sin⁡θ=1/2\sin\theta=1/2 给出

θ1∗=π6,θ2∗=5π6(mod2π).\theta_1^*=\frac\pi6,\qquad \theta_2^*=\frac{5\pi}{6}\pmod{2\pi}.

f′(θ)=−cos⁡θf'(\theta)=-\cos\theta，所以 f′(π/6)<0f'(\pi/6)<0，π/6\pi/6 稳定；f′(5π/6)>0f'(5\pi/6)>0，5π/65\pi/6 不稳定。圆上其余弧段按 ff 的正负标方向，并注意 00 与 2π2\pi 相接。

题目 2：连续逻辑斯蒂方程（10 分）

分析

x˙=3x(1−x15)\dot x=3x\left(1-\frac{x}{15}\right)

的奇点及稳定性，并画相线和不同初值下的 x(t)x(t)。

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不动点是 x∗=0,15x^*=0,15。令 f(x)=3x−x2/5f(x)=3x-x^2/5，则

f′(x)=3−2x5.f'(x)=3-\frac{2x}{5}.

故 f′(0)=3>0f'(0)=3>0，原点不稳定；f′(15)=−3<0f'(15)=-3<0，1515 稳定。对正初值，0<x0<150<x_0<15 时单调增至 15，x0>15x_0>15 时单调降至 15；负初值会继续向负方向离开。

题目 3：鞍结分岔（10 分）

判断

x˙=r−x−e−x\dot x=r-x-e^{-x}

随 rr 变化时经历的分岔类型，并求临界参数。

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令 f=r−x−e−xf=r-x-e^{-x}。分岔点满足

f=0,fx=−1+e−x=0.f=0,\qquad f_x=-1+e^{-x}=0.

所以 xc=0x_c=0，再由 rc−1=0r_c-1=0 得 rc=1r_c=1。r>1r>1 时有一稳一不稳两个不动点，r=1r=1 时相切，r<1r<1 时无不动点，因此是鞍结分岔。

配套答案的文本提取结果中临界值符号出现乱码；这里按题面方程直接验算为 rc=1r_c=1。

题目 4：五个不动点（15 分）

考虑

{x˙=2x(1+x2−2y2),y˙=−y(1−4x2+3y2).\begin{cases} \dot x=2x(1+x^2-2y^2),\\ \dot y=-y(1-4x^2+3y^2). \end{cases}

求不动点并判断稳定性。

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联立两条零增长线，得到

(0,0),(1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1).(0,0),\quad(1,1),\quad(1,-1),\quad(-1,1),\quad(-1,-1).

雅可比矩阵为

J=(2+6x2−4y2−8xy8xy−1+4x2−9y2).J= \begin{pmatrix} 2+6x^2-4y^2&-8xy\\ 8xy&-1+4x^2-9y^2 \end{pmatrix}.

在原点，J=diag⁡(2,−1)J=\operatorname{diag}(2,-1)，所以原点是鞍点。在任意 (±1,±1)(\pm1,\pm1) 处，迹 τ=−2\tau=-2、行列式 Δ=40\Delta=40、判别量 τ2−4Δ<0\tau^2-4\Delta<0，故四点都是稳定焦点。

题目 5：二维线性鞍点（15 分）

对

{x˙=2x+7y,y˙=2x−3y\begin{cases} \dot x=2x+7y,\\ \dot y=2x-3y \end{cases}

判断原点类型并画相图。

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矩阵 A=(272−3)A=\begin{pmatrix}2&7\\2&-3\end{pmatrix} 的特征值为 4,−54,-5，所以原点为鞍点。对应特征向量可取

λ=4: (7,2)T,λ=−5: (1,−1)T.\lambda=4:\ (7,2)^\mathsf T,\qquad \lambda=-5:\ (1,-1)^\mathsf T.

非稳定流形沿 y=2x/7y=2x/7 离开，稳定流形沿 y=−xy=-x 指向原点。

题目 6：闭轨存在与不存在判据（15 分）

给出至少两种判断二维系统中闭轨不存在的充分条件，以及至少一种判断闭轨存在的充分条件。

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可用于排除闭轨的充分条件包括：

  1. 梯度系统：x˙=−∇V\dot{\boldsymbol x}=-\nabla V，于是 V˙=−∥∇V∥2<0\dot V=-\|\nabla V\|^2<0；
  2. 存在严格 Lyapunov 函数：沿非平衡轨道 V˙\dot V 固定为正或负；
  3. Bendixson–Dulac：在单连通域内找到 BB，使 ∂(Bf)/∂x+∂(Bg)/∂y\partial(Bf)/\partial x+\partial(Bg)/\partial y 符号固定。

证明存在闭轨可用 Poincaré–Bendixson 定理：构造不含不动点的紧致正向不变捕获域，则其中轨道的极限集包含闭轨。

题目 7：逻辑斯蒂映射（15 分）

求 f(x)=rx(1−x)f(x)=rx(1-x) 的不动点并判断稳定性，证明 r>3r>3 时存在二周期。

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不动点为

x1∗=0,x2∗=1−1r.x_1^*=0,\qquad x_2^*=1-\frac1r.

f′(x)=r(1−2x)f'(x)=r(1-2x)，所以 x1∗x_1^* 在 0<r<10<r<1 稳定，x2∗x_2^* 在 1<r<31<r<3 稳定。解 f2(x)=xf^2(x)=x 并除去两个不动点因子，得到

p,q=r+1±(r−3)(r+1)2r.p,q=\frac{r+1\pm\sqrt{(r-3)(r+1)}}{2r}.

r>3r>3 时 p,qp,q 是不同实数，且 f(p)=q,f(q)=pf(p)=q,f(q)=p，所以存在二周期。

题目 8：洛伦兹系统与体积收缩（15 分）

对洛伦兹系统

x˙=σ(y−x),y˙=rx−y−xz,z˙=xy−βz\dot x=\sigma(y-x),\quad \dot y=rx-y-xz,\quad \dot z=xy-\beta z
  1. 求不动点与叉式分岔点；
  2. 证明相空间体积按指数收缩。
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原点始终存在。当 r>1r>1 时，出现

P±=(±β(r−1),±β(r−1),r−1),P_\pm= \left(\pm\sqrt{\beta(r-1)}, \pm\sqrt{\beta(r-1)},r-1\right),

故叉式分岔发生在 rc=1r_c=1。

向量场散度为

∇⋅f=∂x˙∂x+∂y˙∂y+∂z˙∂z=−σ−1−β.\nabla\cdot\boldsymbol f =\frac{\partial\dot x}{\partial x} +\frac{\partial\dot y}{\partial y} +\frac{\partial\dot z}{\partial z} =-\sigma-1-\beta.

若随流运动的一小块体积为 V(t)V(t)，Liouville 公式给出

V˙=−(σ+1+β)V,\dot V=-(\sigma+1+\beta)V,

所以

V(t)=V(0)e−(σ+1+β)t.V(t)=V(0)e^{-(\sigma+1+\beta)t}.

正参数下指数为负，体积按指数收缩。

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