动力系统考前速成

这门课的题目看起来跨度很大：一会儿在数轴上画箭头，一会儿算矩阵特征值，一会儿又要证明极限环或混沌。但绝大部分计算都在回答同一个问题：轨道从哪里出发，最后会去哪里，参数变化时这种长期行为会怎样改变？

我在下面按“拿到题先做什么”组织，而不是按课本章节机械复述。考前至少要能独立完成每个框中的流程。

一张总路线图

题型	第一动作	最关键判据	常见失分点
一维连续系统	解 $f(x)=0$	$f'(x^*)$ 或相线箭头	$f'(x^*)=0$ 时仍强行线性化
一维分岔	联立 $f=0$、$f_x=0$	不动点数目与稳定性如何变	只报类型，不画稳定/不稳定分支
二维线性系统	求迹、行列式或特征值	特征值实部与符号	只判类型，不标特征方向
二维非线性系统	解零增长线交点	在每个点计算雅可比矩阵	用一个点的雅可比代替所有点
极限环不存在	先试散度、Dulac、Lyapunov	单连通域内符号固定	忘记说明区域与光滑性
极限环存在	找捕获域	Poincaré–Bendixson	捕获域中仍包含稳定不动点
离散映射	解 $f(x^*)=x^*$	$\lvert f'(x^*)\rvert<1$	错用连续系统的 $f'<0$
洛伦兹系统	先写三个不动点	叉式、Hopf、散度	把 $r=1$ 与 Hopf 临界值混为一谈
分形维数	识别每步的份数与缩放比	$N(\varepsilon)\sim\varepsilon^{-D}$	把面积缩放率直接当维数

1. 一维流：相线比解方程更重要

对

$$\dot x=f(x),$$

先解 $f(x^*)=0$。每两个相邻不动点之间任选一点代入 $f$：

• $f(x)>0$，箭头向右；
• $f(x)<0$，箭头向左；
• 两侧箭头都指向 $x^*$，它稳定；
• 两侧都离开，它不稳定；
• 一侧靠近、一侧离开，它半稳定。

若 $f'(x^*)\neq0$，可以直接用

$$f'(x^*)<0\Rightarrow\text{稳定},\qquad f'(x^*)>0\Rightarrow\text{不稳定}.$$

但 $f'(x^*)=0$ 只说明线性判据失效，不是“稳定”或“不稳定”。2024—2025 卷的 $\dot x=x^2(3-x)$ 就是典型：$x=0$ 两侧均有 $\dot x>0$，因此它是半稳定点；$x=3$ 才是稳定点。

圆上的流

对 $\dot\theta=f(\theta)$，$\theta$ 与 $\theta+2\pi$ 是同一点。除了照常求根和判稳定，还要把区间首尾接起来。若 $f$ 在圆上没有零点，轨道就一直绕圈，对应持续旋转而非不动点。

2. 四类一维分岔必须能默写

分岔点通常满足

$$f(x_c,r_c)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial x}(x_c,r_c)=0.$$

类型	标准形	结构变化
鞍结	$\dot x=r-x^2$	一稳一不稳相遇并消失
跨临界	$\dot x=rx-x^2$	两个分支穿过并交换稳定性
超临界叉式	$\dot x=rx-x^3$	原点失稳，同时产生两个稳定分支
亚临界叉式	$\dot x=rx+x^3$	两个不稳定分支撞向稳定原点，原点随后失稳

分岔图中横轴通常是参数 $r$，纵轴是不动点 $x^*$；稳定分支画实线，不稳定分支画虚线。判题时不能只看“不动点数量”：跨临界分岔前后数量不变，关键是分支相交并交换稳定性。

3. 二维线性系统：迹—行列式快速分类

对 $\dot{\boldsymbol x}=A\boldsymbol x$，令

$$\tau=\operatorname{tr}A,\qquad \Delta=\det A,\qquad D=\tau^2-4\Delta.$$

• $\Delta<0$：鞍点，一正一负两个实特征值；
• $\Delta>0,D>0$：结点，$\tau<0$ 稳定、$\tau>0$ 不稳定；
• $\Delta>0,D<0$：焦点，$\tau<0$ 稳定、$\tau>0$ 不稳定；
• $\Delta>0,\tau=0,D<0$：线性中心；
• $\Delta=0$ 或 $D=0$：边界情形，要单独分析。

画相图时，若特征值为实数，必须标出特征向量方向。沿 $\lambda<0$ 的方向正时间趋向原点，沿 $\lambda>0$ 的方向离开原点。鞍点的稳定、非稳定流形就是两条特征方向。

4. 二维非线性系统：固定四步

对

$$\dot x=f(x,y),\qquad \dot y=g(x,y),$$

1. 画零增长线 $f=0$ 与 $g=0$；
2. 交点就是不动点；
3. 写雅可比矩阵

$$J(x,y)= \begin{pmatrix} f_x&f_y\\ g_x&g_y \end{pmatrix};$$

1. 在每个不动点代值，用特征值或 $\tau,\Delta,D$ 分类。

若线性化有特征值实部为零，Hartman–Grobman 定理不适用。此时要回到非线性项、极坐标、守恒量或 Lyapunov 函数。试卷很爱考“线性中心其实被非线性项变成焦点”。

5. 极坐标变换是极限环题的捷径

记 $r^2=x^2+y^2$，则

$$r\dot r=x\dot x+y\dot y, \qquad \dot\theta=\frac{x\dot y-y\dot x}{r^2}.$$

若化成

$$\dot r=R(r),\qquad \dot\theta=\Omega(r),$$

那么 $R(r_*)=0$ 且 $r_*>0$ 给出圆形闭轨。再看 $r_*$ 两侧 $R$ 的符号：内外都推向 $r_*$ 就是稳定极限环。2024—2025 卷中

$$\dot r=r(1-r^2),\qquad \dot\theta=1$$

直接说明 $r=1$ 是稳定极限环，原点不稳定。

6. 如何证明“没有闭轨”

Bendixson–Dulac

若在单连通区域 $D$ 内存在光滑函数 $B(x,y)$，使

$$\frac{\partial(Bf)}{\partial x} +\frac{\partial(Bg)}{\partial y}$$

恒正或恒负且不恒为零，则 $D$ 内没有闭轨。答题一定写清：区域单连通、$Bf$ 与 $Bg$ 足够光滑、表达式符号固定。

Lyapunov 函数

找一个单值函数 $V$，沿轨道

$$\dot V=\nabla V\cdot\boldsymbol f$$

严格单调。若存在闭轨，绕一周回到原点时 $V$ 应回到原值，与严格单调矛盾。

梯度系统

若 $\dot{\boldsymbol x}=-\nabla V$，则

$$\dot V=-\|\nabla V\|^2\le0,$$

非平衡轨道上严格下降，所以不能形成闭轨。

7. 如何证明“有闭轨”

构造一个环形捕获域：

• 内边界上的向量场指向环域外侧；
• 外边界上的向量场指向环域内侧；
• 环域内没有不动点。

轨道被困在紧区域中，Poincaré–Bendixson 定理便保证其 $\omega$ 极限集包含闭轨。注意：定理保证“至少一条”，不自动保证唯一或稳定。

8. 离散映射：稳定判据换了

对

$$x_{n+1}=f(x_n),$$

不动点满足 $f(x^*)=x^*$，而不是 $f(x^*)=0$。令 $x_n=x^*+\eta_n$，线性化得

$$\eta_{n+1}\approx f'(x^*)\eta_n.$$

因此：

$$|f'(x^*)|<1\Rightarrow\text{稳定},\qquad |f'(x^*)|>1\Rightarrow\text{不稳定}.$$

逻辑斯蒂映射 $f(x)=rx(1-x)$ 的两个不动点为

$$x_1^*=0,\qquad x_2^*=1-\frac1r.$$

$x_1^*$ 在 $0<r<1$ 稳定，$x_2^*$ 在 $1<r<3$ 稳定；$r=3$ 后出现二周期。二周期点不是 $f$ 的不动点，而是 $f^2$ 的非平凡不动点，稳定乘子为 $f'(p)f'(q)$。

9. 洛伦兹系统的四个必背结论

$$\dot x=\sigma(y-x),\qquad \dot y=rx-y-xz, \qquad \dot z=xy-\beta z.$$

不动点

$$P_0=(0,0,0),$$

以及当 $r>1$ 时出现的

$$P_\pm= \left(\pm\sqrt{\beta(r-1)}, \pm\sqrt{\beta(r-1)},r-1\right).$$

$r=1$ 是叉式分岔点。

对称性

变换 $(x,y,z)\mapsto(-x,-y,z)$ 后方程不变，所以非零不动点和吸引子的两个“翅膀”成对出现。

耗散性

$$\nabla\cdot\boldsymbol f=-\sigma-1-\beta<0.$$

相空间小体积满足

$$V(t)=V(0)e^{-(\sigma+1+\beta)t},$$

这解释了三维轨道为何会被压到一个低维吸引集合附近。

Hopf 临界值

在 $\sigma>\beta+1$ 时，非零不动点的稳定边界是

$$r_H=\frac{\sigma(\sigma+\beta+3)}{\sigma-\beta-1}.$$

经典参数 $\sigma=10,\beta=8/3$ 给出 $r_H\approx24.74$。这和 $r=1$ 的叉式分岔不是同一件事。

10. 分形与奇怪吸引子

盒维数定义为

$$D_B=\lim_{\varepsilon\to0} \frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln(1/\varepsilon)},$$

其中 $N(\varepsilon)$ 是覆盖集合所需的边长 $\varepsilon$ 小盒数。若自相似集合每一步留下 $m$ 份，每份长度缩为 $s$，常有

$$D=\frac{\ln m}{\ln(1/s)}.$$

对试卷中的耗散面包师映射，水平方向仍填满区间，贡献维数 $1$；竖直方向每步留下两份、缩放比为 $a$，贡献 $\ln2/\ln(1/a)$，所以

$$D=1+\frac{\ln2}{\ln(1/a)} =1-\frac{\ln2}{\ln a},\qquad 0<a<\frac12.$$

最后十分钟检查清单

1. 连续系统解的是 $f=0$，离散映射解的是 $f(x)=x$。
2. 一维稳定性看 $f'<0$；离散稳定性看 $|f'|<1$。
3. 遇到 $f'=0$，必须回相线或高阶项。
4. 分岔图稳定实线、不稳定虚线。
5. 二维每个不动点都要单独代雅可比。
6. 鞍点一定有一正一负特征值，指数为 $-1$。
7. Dulac 必须说明单连通区域和符号固定。
8. Poincaré–Bendixson 需要“被困、紧、无不动点”。
9. 洛伦兹 $r=1$ 是叉式分岔，$r_H$ 才是 Hopf 稳定边界。
10. 数值图只能支持结论，不能代替稳定性证明。