第 2 次作业：正态抽样分布与 t、F 统计量

题目按源文件 week3.pdf 顺序整理。源文件第 6 题的“最小常数”与不等式方向不相容，解答中如实指出，并给出有实际意义的边界值。

题 1：两个正态样本均值

从 $N(100,4)$ 总体分别独立抽取容量为 $15$ 和 $20$ 的样本，样本均值为 $\bar X,\bar Y$。求

$$P(|\bar X-\bar Y|\ge0.2).$$

展开解答

$$\bar X-\bar Y\sim N\left(0,\frac4{15}+\frac4{20}\right) =N\left(0,\frac7{15}\right).$$

所以

$$P(|\bar X-\bar Y|\ge0.2) =2\left[ 1-\Phi\left(\frac{0.2}{\sqrt{7/15}}\right) \right].$$

因标准化值约为 $0.293$，概率约为

$$\boxed{0.770}.$$

题 2：关于常数 $c$ 的概率界

设 $X_1,\ldots,X_n$ 来自 $N(\mu,1)$。确定最小的常数 $c$，使对任意 $\mu\ge0$，有

$$P(|\bar X|<c)\le\alpha.$$

展开解答

对 $c>0$，

$$g(\mu)=P_\mu(|\bar X|<c) =\Phi(\sqrt n(c-\mu)) -\Phi(\sqrt n(-c-\mu)).$$

在 $\mu\ge0$ 上，$g(\mu)$ 的最大值出现在 $\mu=0$，所以条件等价于

$$2\Phi(\sqrt n\,c)-1\le\alpha.$$

即

$$0<c\le \frac{\Phi^{-1}((1+\alpha)/2)}{\sqrt n}.$$

因此原题若坚持问“最小的正数”，并不存在最小值，只有下确界 $0$；若本意是问最大的允许值，则

$$\boxed{ c_{\max}= \frac{\Phi^{-1}((1+\alpha)/2)}{\sqrt n} }.$$

我当时的手写作答也得到 $c\le\cdots$，这印证了题面文字存在问题。

题 3：$F(n,n)$ 在 1 两侧的概率

设随机变量 $X\sim F(n,n)$，证明 $P(X<1)=0.5$。

展开解答

可写

$$X=\frac{U/n}{V/n}=\frac UV,$$

其中 $U,V$ 独立且同服从 $\chi^2(n)$。交换 $U,V$ 不改变联合分布，因此

$$\frac1X=\frac VU\overset d=X.$$

于是

$$P(X<1)=P(1/X<1)=P(X>1).$$

$F$ 分布连续，$P(X=1)=0$，故

$$\boxed{P(X<1)=P(X>1)=\frac12}.$$

题 4：两个正态线性组合的比值

$X_1,X_2$ 来自 $N(0,\sigma^2)$，求

$$Y=\left(\frac{X_1+X_2}{X_1-X_2}\right)^2$$

的分布。

展开解答

令

$$U=\frac{X_1+X_2}{\sqrt2\sigma},\qquad V=\frac{X_1-X_2}{\sqrt2\sigma}.$$

二者均为标准正态，且协方差为零。由于联合正态，所以 $U,V$ 独立。因此

$$Y=\frac{U^2}{V^2} =\frac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(1)/1} \sim\boxed{F(1,1)}.$$

题 5：求临界常数 $k$

$X_1,X_2$ 来自 $N(0,1)$。求 $k$，使

$$P\left\{ \frac{(X_1+X_2)^2} {(X_1-X_2)^2+(X_1+X_2)^2}>k \right\}=0.05.$$

展开解答

令 $U=(X_1+X_2)/\sqrt2$、$V=(X_1-X_2)/\sqrt2$，则 $U,V$ 独立标准正态。题中随机变量为

$$W=\frac{U^2}{U^2+V^2} \sim\operatorname{Beta}\left(\frac12,\frac12\right).$$

也可令 $F=U^2/V^2\sim F(1,1)$，则 $W=F/(1+F)$。要求 $P(W>k)=0.05$，所以

$$k=\frac{F_{0.95}(1,1)} {1+F_{0.95}(1,1)} \approx\boxed{0.9938}.$$

题 6：任意线性组合构造 t 统计量

$X_1,\ldots,X_n$ 来自 $N(\mu_1,\sigma^2)$，$Y_1,\ldots,Y_m$ 来自 $N(\mu_2,\sigma^2)$，两样本独立。$c,d$ 是任意两个不全为零的常数。证明

$$t= \frac{c(\bar X-\mu_1)+d(\bar Y-\mu_2)} {S_w\sqrt{c^2/n+d^2/m}} \sim t(n+m-2),$$

其中

$$S_w^2= \frac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2} {n+m-2}.$$

展开解答

由独立正态样本，

$$Z= \frac{c(\bar X-\mu_1)+d(\bar Y-\mu_2)} {\sigma\sqrt{c^2/n+d^2/m}} \sim N(0,1).$$

又

$$\frac{(n-1)S_X^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1), \qquad \frac{(m-1)S_Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(m-1),$$

二者独立，因此

$$\frac{(n+m-2)S_w^2}{\sigma^2} \sim\chi^2(n+m-2).$$

正态样本中均值与样本方差独立，所以 $Z$ 与 $S_w^2$ 独立。按 $t$ 分布定义，

$$\frac{Z} {\sqrt{[(n+m-2)S_w^2/\sigma^2]/(n+m-2)}} \sim t(n+m-2),$$

化简即得证。

题 7：成对和的离差平方和

$X_1,\ldots,X_{2n}$ 来自 $N(\mu,\sigma^2)$，$\bar X$ 是全部 $2n$ 个观测的样本均值。令

$$\Gamma= \sum_{i=1}^n (X_i+X_{n+i}-2\bar X)^2.$$

求 $E(\Gamma)$。

展开解答

令 $A_i=X_i+X_{n+i}$，则

$$A_i\overset{\text{i.i.d.}}\sim N(2\mu,2\sigma^2), \qquad \bar A=2\bar X.$$

所以

$$\Gamma=\sum_{i=1}^n(A_i-\bar A)^2 =(n-1)S_A^2.$$

由样本方差无偏，

$$\boxed{E(\Gamma)=2(n-1)\sigma^2}.$$

题 8：用样本方差控制概率

$X_1,\ldots,X_n$ 来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$。求最小 $n$，使

$$P\left(\frac{S^2}{\sigma^2}\le1.5\right)\ge0.95.$$

展开解答

由

$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1),$$

条件等价于

$$P\{\chi^2(n-1)\le1.5(n-1)\}\ge0.95.$$

逐个自由度查分布函数：

$$\begin{aligned} n=26:&\quad P\{\chi^2(25)\le37.5\}\approx0.9483<0.95,\\ n=27:&\quad P\{\chi^2(26)\le39\}\approx0.9512\ge0.95. \end{aligned}$$

所以

$$\boxed{n_{\min}=27}.$$

题 9：内部学生化残差与 t 分布

$X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布于 $N(\mu,\sigma^2)$，令

$$\bar X=\frac1n\sum X_i,\qquad S^2=\frac1{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2,$$ $$\xi=\frac{X_1-\bar X}{S}.$$

找出 $\xi$ 与 $t$ 分布的联系。

展开解答

按题目提示作正交变换，取

$$Y_1=\sqrt n\,\bar X,\qquad Y_2=\sqrt{\frac n{n-1}}(X_1-\bar X),$$

再补齐正交坐标 $Y_3,\ldots,Y_n$。正态向量经正交变换后各坐标独立，且

$$\frac{Y_2}{\sigma}\sim N(0,1),\qquad \frac1{\sigma^2}\sum_{i=3}^nY_i^2\sim\chi^2(n-2).$$

因此

$$T= \frac{Y_2/\sigma} {\sqrt{\sum_{i=3}^nY_i^2/[(n-2)\sigma^2]}} \sim t(n-2).$$

另一方面，

$$(n-1)S^2=Y_2^2+\sum_{i=3}^nY_i^2.$$

消元得

$$\boxed{ \xi= \frac{(n-1)T} {\sqrt{n(n-2+T^2)}}, \qquad T\sim t(n-2) }.$$

因此 $|\xi|<(n-1)/\sqrt n$。$\xi$ 不是普通的 $t$ 变量，因为分母 $S$ 包含了 $X_1$ 自己造成的残差。