第 1 次作业：样本、统计量与抽样分布

题目按源文件 week2.pdf 的顺序转写。源文件包含我当时的手写作答与批改痕迹；下方解答保留我原来的思路，并把被批改指出的概念或计算问题改正。

题 1：盒装产品抽样

某厂大量生产某种产品，其不合格品率 $p$ 未知，每 $m$ 件产品包装为一盒。为了检查产品质量，任意抽取 $n$ 盒，查其中的不合格品数。说明什么是总体、什么是样本，并指出样本的分布。

展开解答

把“一盒中不合格品的件数”记为 $X$。总体是随机变量 $X$ 的分布。若同一盒内每件产品独立且不合格概率均为 $p$，则

$$X\sim\operatorname{Binomial}(m,p).$$

抽出的 $n$ 盒对应样本 $X_1,\ldots,X_n$。在随机抽盒并近似独立的条件下，

$$X_1,\ldots,X_n\overset{\text{i.i.d.}}\sim \operatorname{Binomial}(m,p).$$

联合概率质量函数为

$$\prod_{i=1}^n \binom m{x_i}p^{x_i}(1-p)^{m-x_i}, \qquad x_i=0,1,\ldots,m.$$

题 2：标志重捕法估计鱼数

第一次从鱼塘中捕捞一网，共有 $n$ 条鱼，涂上不会被水冲掉的红漆后放回。一天后再次捕捞一网，共有 $m$ 条鱼，其中有红漆的鱼为 $k$ 条。估计鱼塘中大概有多少条鱼，并说明总体和样本。

展开解答

设鱼塘中共有 $N$ 条鱼。总体是这 $N$ 条鱼在第二次捕捞时的“已标记/未标记”状态；第二次捕到的 $m$ 条鱼构成不放回样本，统计量 $K$ 是其中已标记鱼数。

若标记不影响存活和被捕概率、总体数量不变、标记鱼已充分混合，则

$$K\sim\operatorname{Hypergeometric}(N,n,m), \qquad E(K)=m\frac nN.$$

以观察值 $k$ 替代期望，得到经典估计

$$\boxed{\hat N=\frac{mn}{k}}.$$

若 $k=0$，这个估计失效，只能说明样本太小或混合假设有问题。

题 3：电容器寿命

某厂生产的电容器寿命服从指数分布。为了了解其平均寿命，从中抽出 $n$ 件产品测其实寿命。说明什么是总体、什么是样本，并指出样本的分布。

展开解答

总体是该型号电容器寿命随机变量 $X$ 的指数分布。若以率参数 $\lambda$ 表示，

$$f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}I(x>0).$$

测得的 $n$ 个寿命 $X_1,\ldots,X_n$ 构成样本。在独立抽取且生产条件稳定时，

$$X_1,\ldots,X_n\overset{\text{i.i.d.}}\sim \operatorname{Exp}(\lambda),$$

联合密度为

$$\lambda^n e^{-\lambda\sum_i x_i} \prod_{i=1}^n I(x_i>0).$$

题 4：两批同总体样本合并

从同一总体先后抽取容量分别为 $n,m$ 的两个独立样本，样本均值为 $\bar X_1,\bar X_2$，样本方差为 $S_1^2,S_2^2$。证明合并后的均值和方差为

$$\bar X=\frac{n\bar X_1+m\bar X_2}{n+m},$$ $$S^2= \frac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{n+m-1} +\frac{nm(\bar X_1-\bar X_2)^2} {(n+m)(n+m-1)}.$$

展开解答

合并样本总和是两批样本和之和，故均值公式成立。对离差平方和使用组内—组间分解：

$$(n+m-1)S^2 =(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2 +n(\bar X_1-\bar X)^2+m(\bar X_2-\bar X)^2.$$

由合并均值，

$$\bar X_1-\bar X=\frac{m}{n+m}(\bar X_1-\bar X_2),$$ $$\bar X_2-\bar X=-\frac{n}{n+m}(\bar X_1-\bar X_2).$$

代入后，两个组间项之和为

$$\frac{nm}{n+m}(\bar X_1-\bar X_2)^2.$$

再除以 $n+m-1$ 即得题中公式。

题 5：样本均值与样本方差的协方差

设总体 $X$ 的三阶中心矩存在，

$$\nu_3=E[X-E(X)]^3.$$

证明

$$\operatorname{Cov}(\bar X,S^2)=\frac{\nu_3}{n}.$$

展开解答

令 $Y_i=X_i-\mu$、$\bar Y=\bar X-\mu$。因 $E\bar Y=0$，

$$\operatorname{Cov}(\bar X,S^2)=E(\bar YS^2).$$

又

$$S^2=\frac1{n-1} \left(\sum_{i=1}^nY_i^2-n\bar Y^2\right).$$

独立性与 $E(Y_i)=0$ 给出

$$E\left(\bar Y\sum_iY_i^2\right)=\nu_3.$$

同时 $E[(\sum_iY_i)^3]=n\nu_3$，所以

$$E(\bar Y^3)=\frac{\nu_3}{n^2}.$$

于是

$$E(\bar YS^2) =\frac1{n-1}\left(\nu_3-n\frac{\nu_3}{n^2}\right) =\boxed{\frac{\nu_3}{n}}.$$

若总体关于均值对称，则二者不相关；只有正态总体还能进一步推出独立。

题 6：两个样本均值之差

$\bar X_1,\bar X_2$ 是从同一正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 独立抽取、容量均为 $n$ 的两个样本均值。确定最小样本容量 $n$，使两样本均值的差超过 $\sigma$ 的概率不超过 $0.01$。

展开解答

$$\bar X_1-\bar X_2\sim N\left(0,\frac{2\sigma^2}{n}\right).$$

因此

$$P(|\bar X_1-\bar X_2|>\sigma) =2\left[1-\Phi\left(\sqrt{\frac n2}\right)\right].$$

要求该概率不超过 $0.01$，即

$$\sqrt{\frac n2}\ge z_{0.995}\approx2.576.$$

由此 $n\ge13.27$，所以

$$\boxed{n_{\min}=14}.$$

题 7：指数总体样本均值的近似分布

从指数总体 $\operatorname{Exp}(1/\theta)$ 抽取 $40$ 个样品，求 $\bar X$ 的渐近分布。

展开解答

题中以率 $1/\theta$ 参数化，所以

$$E(X)=\theta,\qquad \operatorname{Var}(X)=\theta^2.$$

由中心极限定理，

$$\frac{\sqrt{40}(\bar X-\theta)}{\theta} \approx N(0,1),$$

即

$$\boxed{\bar X\approx N\left(\theta,\frac{\theta^2}{40}\right)}.$$

题 8：Weibull 样本的最小值

设 $X_1,\ldots,X_n$ 来自 Weibull 总体，密度

$$f(x)=\frac{m x^{m-1}}{\eta^m} \exp\left[-\left(\frac{x}{\eta}\right)^m\right], \qquad x>0.$$

证明 $X_{(1)}$ 仍服从 Weibull 分布，并给出参数。

展开解答

单个变量的生存函数为

$$P(X>x)=\exp\left[-\left(\frac{x}{\eta}\right)^m\right].$$

故

$$P(X_{(1)}>x) =\left[P(X>x)\right]^n =\exp\left[-n\left(\frac{x}{\eta}\right)^m\right] =\exp\left[-\left( \frac{x}{\eta/n^{1/m}}\right)^m\right].$$

因此

$$\boxed{X_{(1)}\sim \operatorname{Weibull}\left(m,\frac{\eta}{n^{1/m}}\right)}.$$

题 9：几何总体的极值

设 $P(X=k)=pq^{k-1}$，$k=1,2,\ldots$，其中 $q=1-p$。$X_1,\ldots,X_n$ 为样本，求 $X_{(n)}$ 与 $X_{(1)}$ 的概率分布。

展开解答

总体分布函数为 $P(X\le k)=1-q^k$，所以

$$P(X_{(n)}\le k)=(1-q^k)^n,$$ $$\boxed{ P(X_{(n)}=k) =(1-q^k)^n-(1-q^{k-1})^n }.$$

另一方面，

$$P(X_{(1)}\ge k)=P(X\ge k)^n=q^{n(k-1)}.$$

作相邻尾概率之差：

$$\boxed{ P(X_{(1)}=k) =(1-q^n)q^{n(k-1)} }.$$

最小值仍为从 1 开始的几何分布，成功概率为 $1-q^n$。