第 8 讲：加法器、编码器与数值比较器

这几类器件把常用 Boolean 功能封装成可复用模块。理解输入输出关系后，应学会级联、扩展和用它们实现更复杂函数。

半加器与全加器

半加器只加两个一位数：

$$S=A\oplus B,\qquad C=AB.$$

全加器还考虑低位进位 $C_{in}$：

$$S=A\oplus B\oplus C_{in},$$ $$C_{out}=AB+AC_{in}+BC_{in} =AB+(A\oplus B)C_{in}.$$

两个半加器加一个 OR 门即可构成全加器。

多位加法

把每一位全加器的 $C_{out}$ 接到高一位 $C_{in}$，得到串行进位加法器。结构简单，但最高位必须等待进位逐级传播，延迟约随位数增加。

定义产生与传递：

$$G_i=A_iB_i,\qquad P_i=A_i\oplus B_i,$$

则

$$C_{i+1}=G_i+P_iC_i.$$

展开可并行计算进位，得到超前进位加法器，以更多逻辑换速度。

减法可用补码：对 $B$ 各位异或控制信号 $M$，并令最低位进位 $C_0=M$。$M=0$ 做 $A+B$，$M=1$ 做 $A+\bar B+1=A-B$。

编码器

$2^n$–$n$ 编码器把某一个有效输入的位置编码成 $n$ 位代码。普通编码器假设同一时刻只有一路有效；若多路同时有效，输出会歧义。

优先编码器规定优先级，只编码最高优先的有效输入，并常提供：

• 有效输出标志，区分“没有输入”与编码恰好为 0；
• 级联输入/输出，用于扩展输入路数；
• 低有效输入和低有效输出。

分析 74 系列优先编码器时必须按真值表有效电平，而不是仅凭器件名称推断。

数值比较器

一位比较：

$$A>B=A\bar B,\qquad A<B=\bar AB,\qquad A=B=A\odot B.$$

多位比较从最高位开始。若最高位不同，结果已确定；只有高位相等才比较下一位。

对两位数，可写

$$A>B=A_1\bar B_1 +(A_1\odot B_1)A_0\bar B_0.$$

集成比较器通常有级联输入 $I_{>},I_{=},I_{<}$，最低一组应初始化为“等于有效、其余无效”；高位组的输出最终决定整体关系。具体级联方向按器件说明。

模块复用

• 全加器进位函数就是三输入多数表决；
• 比较器的相等输出可用于地址匹配；
• 加法器加常数可实现码制转换或地址偏移；
• 优先编码器可实现中断优先级选择。

检查

• 加法器最低位进位是否设对；
• 有符号溢出与无符号进位是否分开；
• 普通编码器是否满足单输入有效前提；
• 优先级方向和有效电平是否确认；
• 比较器从最高位而不是最低位开始；
• 级联输入是否给了正确初值。