第 2 讲：逻辑代数、公式与标准形式

Boolean 代数中的变量只取 0 或 1。它描述的是两种逻辑状态，而不是普通数值大小；因此 $1+1=1$ 表示“真或真仍为真”。

基本运算

• 与：$AB$，只有两者都为 1 才为 1；
• 或：$A+B$，至少一个为 1 就为 1；
• 非：$\bar A$，状态取反；
• 异或：$A\oplus B=\bar AB+A\bar B$，不同为 1；
• 同或：$A\odot B=AB+\bar A\bar B$，相同为 1。

与非、或非门具有功能完备性：仅用 NAND 或仅用 NOR 就能实现任意逻辑函数。

常用公式

$$A+0=A,\quad A\cdot1=A,\quad A+A=A,\quad A\cdot A=A,$$ $$A+\bar A=1,\qquad A\bar A=0,$$ $$A+AB=A,\qquad A(A+B)=A,$$ $$A+\bar AB=A+B,\qquad A(\bar A+B)=AB.$$

De Morgan：

$$\overline{AB}=\bar A+\bar B,\qquad \overline{A+B}=\bar A\bar B.$$

多层反演时要把括号里的运算全部对偶，并对每个变量取反。逻辑图“气泡推移”就是 De Morgan 在门级的表现。

对偶与反演

一个等式中交换 $+$ 与 $\cdot$、交换 $0$ 与 $1$，变量及其反变量不变，得到对偶式。若原等式成立，对偶式也成立。

求函数反函数 $\bar F$ 则要对整个函数取反，用 De Morgan 展开。对偶式和反函数不是一回事。

真值表到最小项

$n$ 个变量的每一种取值对应一个最小项：该取值下为 1，其他组合为 0。变量取 1 写原变量，取 0 写反变量。例如 $A B C=101$ 对应

$$m_5=A\bar BC.$$

把函数输出为 1 的所有最小项相或，得到标准与或式：

$$F=\sum m(i).$$

编号按变量从高位到低位构成的二进制数确定，必须先声明变量顺序。

最大项与标准或与式

最大项在对应取值下为 0。变量取 0 写原变量，取 1 写反变量。例如组合 101 对应

$$M_5=(\bar A+B+\bar C).$$

函数输出为 0 的最大项相与：

$$F=\prod M(j).$$

若无关项集合为 $d(k)$，这些输入在实现中可按 0 或 1 使用，但函数规范应单独标出，不能混进确定最小项。

表达形式之间转换

• 普通逻辑式 → 真值表：枚举输入或逐级计算；
• 真值表 → 标准与或：收集输出为 1 的最小项；
• 真值表 → 标准或与：收集输出为 0 的最大项；
• 与或 → 与非–与非：对整体做两次反演；
• 或与 → 或非–或非：同理转换；
• 异或结构明显时保留 XOR，往往比展开后更简。

逻辑图分析

从输入到输出逐级命名中间节点，写每一级逻辑式，再化简。看到输出端或输入端气泡时先确定其是否表示低有效，而不是把所有气泡都机械当成一次非门。

一个可靠的最终检查是任选几组输入，同时在原电路和化简表达式上计算，结果应一致。