第 1 讲：数制、补码与常用编码

数字系统首先要解决“信息怎样变成位串”。同一串 0/1 按无符号数、补码、BCD 或字符解释，会代表完全不同的对象。

位权与进制转换

$r$ 进制数

(a_{n-1}\cdots a_0.a_{-1}\cdots a_{-m})_r =\sum_{i=-m}^{n-1}a_ir^i.

转十进制直接按位权展开。十进制整数转 $r$ 进制用除 $r$ 取余、余数逆序；小数部分用乘 $r$ 取整、整数顺序写下。

二、八、十六进制可通过分组互转：从小数点向两侧每 3 位二进制对应一位八进制，每 4 位对应一位十六进制，不足补零。

有限十进制小数在二进制中可能无限循环。按给定位数截断或舍入时，应区分表示误差，不要假装精确相等。

$n$ 位无符号数范围：

0\le N\le2^n-1.

原码用最高位表示符号，存在 $+0,-0$ ；反码对负数的数值位逐位取反，也有两个零；补码把负数表示为对应正数按位取反再加 1，只有一个零，适合统一加减法。

$n$ 位补码范围：

-2^{n-1}\le N\le2^{n-1}-1.

最小负数 $100\cdots0$ 没有同位宽正数对应，求绝对值时要注意溢出。

补码加法使用普通二进制加法，最高位之外的进位丢弃。减法转化为

A-B=A+[-B]_{补}.

扩大位宽时，无符号数在左边补 0；补码数做符号扩展，复制最高符号位。例如 8 位补码 11110110 扩成 16 位应为 11111111 11110110。

两个正数相加得到负号，或两个负数相加得到正号，发生有符号溢出。硬件上也可判断符号位的输入进位 $C_{n-1}$ 与输出进位 $C_n$ 是否不同：

V=C_{n-1}\oplus C_n.

8421 BCD 用 4 位表示一个十进制数字，只使用 0000 到 1001，1010 到 1111 为非法码。BCD 加法若某一位结果大于 9 或产生十六进制进位，需要加 0110 校正。

BCD 是“每个十进制位单独编码”，不是把整个十进制数直接转二进制。例如十进制 25 的 BCD 是 0010 0101，纯二进制是 11001。

相邻 Gray 码只改变一位，可减少机械位置编码或异步采样时多位同时翻转造成的错误。

二进制 $B$ 转 Gray：最高位不变，之后

G_i=B_{i+1}\oplus B_i.

Gray 转二进制：最高位不变，之后逐位累积异或

B_i=B_{i+1}\oplus G_i.

Karnaugh 图的行列也按 Gray 顺序排列，正是为了让相邻格只有一个变量变化。

ASCII 用 7 位定义基本字符，实际常放在 8 位字节中。数字字符 '0' 的编码与数值 0 不同；字符 '0' 到 '9' 的码值连续，做转换时可加减 '0'。

汉字编码包含输入码、交换码、机内码、字形码等不同层次；同一个汉字的“怎样输入、怎样存储、怎样显示”不是同一种编码任务。