第 13 周作业：用 Laplace 变换解方程组

源文件只有我当时的手写作答。下面按作答中清晰可辨的第 1、3、5 题还原题面。

第 1 题

\begin{cases} x'+x-y=e^t,\\ y'+3x-2y=2e^t,\\ x(0)=y(0)=1. \end{cases}

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令 $X(s)=\mathcal L[x]$ 、 $Y(s)=\mathcal L[y]$ 。代入初值后解二元代数方程组，得到

X(s)=Y(s)=\frac1{s-1}.

所以

x(t)=y(t)=e^t.

\begin{cases} (2x''-x'+9x)-(y''+y'+3y)=0,\\ (2x''+x'+7x)-(y''-y'+5y)=0,\\ x(0)=x'(0)=1,\\ y(0)=y'(0)=0. \end{cases}

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两式相加、相减，可化为

2x''+8x=y''+4y,\qquad x'-x=-y'+y.

第二式说明 $x+y=e^t$ 。代入第一式后解出

\begin{aligned} x(t)&=\frac13\sin2t+\frac23\cos2t+\frac13e^t,\\ y(t)&=\frac23e^t-\frac23\cos2t-\frac13\sin2t. \end{aligned}

\begin{cases} x'=y,\\ y'=z,\\ z'=-6x-11y-6z+e^t,\\ x(0)=y(0)=z(0)=0. \end{cases}

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消元得

x'''+6x''+11x'+6x=e^t.

作 Laplace 变换并部分分式分解，我当时提交的结果可整理为

x=-\frac18e^{-3t}+\frac13e^{-2t}-\frac14e^{-t}+\frac1{24}e^t.

其余分量由 $y=x'$ 、 $z=x''$ 直接得到。