第 12 周作业：线性微分方程组

#作业

源文件是我当时的手写提交，没有单独附上印刷题面。下面凡标注“根据作答还原”的地方，我只整理提交中能够唯一辨认的题目，不补猜缺失条件。

1. 三个齐次线性方程组（根据作答还原）

分别求解：

{x′=3x+4y,y′=5x+2y;\begin{cases} x'=3x+4y,\\ y'=5x+2y; \end{cases} {x′=αx+βy,y′=−βx+αy;\begin{cases} x'=\alpha x+\beta y,\\ y'=-\beta x+\alpha y; \end{cases} X′=(1211−11201)X.\boldsymbol X'= \begin{pmatrix} 1&2&1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1 \end{pmatrix}\boldsymbol X.
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第一组的特征值为 −2,7-2,7，可取对应特征向量 (4,−5)T(4,-5)^\mathsf T、(1,1)T(1,1)^\mathsf T，所以

(xy)=C1e−2t(4−5)+C2e7t(11).\binom{x}{y} =C_1e^{-2t}\binom{4}{-5} +C_2e^{7t}\binom{1}{1}.

第二组的系数矩阵是“伸缩 α\alpha + 旋转 β\beta”，故

(xy)=eαt(cos⁡βtsin⁡βt−sin⁡βtcos⁡βt)(C1C2).\binom{x}{y} =e^{\alpha t} \begin{pmatrix} \cos\beta t&\sin\beta t\\ -\sin\beta t&\cos\beta t \end{pmatrix} \binom{C_1}{C_2}.

第三组的特征值为 −1-1（二重）和 33。−1-1 只有一个线性无关特征向量，可取

v=(2,−1,−2)T,w=(1,1,−2)T,(A+I)w=v,v=(2,-1,-2)^\mathsf T,\qquad w=(1,1,-2)^\mathsf T,\qquad (A+I)w=v,

而 33 对应 v3=(2,1,2)Tv_3=(2,1,2)^\mathsf T。因此

X=e−t[C1v+C2(tv+w)]+C3e3tv3.\boldsymbol X =e^{-t}\left[C_1v+C_2(tv+w)\right] +C_3e^{3t}v_3.

2. 三阶非齐次初值问题（根据作答还原）

{x′=y,y′=z,z′=−6x−11y−6z+e−t,x(0)=y(0)=z(0)=0.\begin{cases} x'=y,\\ y'=z,\\ z'=-6x-11y-6z+e^{-t},\\ x(0)=y(0)=z(0)=0. \end{cases}
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消去 y,zy,z 得

x′′′+6x′′+11x′+6x=e−t.x'''+6x''+11x'+6x=e^{-t}.

由于 −1-1 是特征根，特解要乘 tt。结合三个零初值可得

x=−34e−t+e−2t−14e−3t+12te−t,x=-\frac34e^{-t}+e^{-2t}-\frac14e^{-3t}+\frac12te^{-t},

再由 y=x′y=x'、z=x′′z=x'' 得到其余两个分量。这个写法比直接展开三个长式子更容易检查：依次求导并代回即可。

3. 带初值的非齐次方程组（根据作答还原）

{x′=2x+y−2z+2−t,y′=−x,z′=x+y−z+1+t,x(0)=−1,y(0)=0,z(0)=1.\begin{cases} x'=2x+y-2z+2-t,\\ y'=-x,\\ z'=x+y-z+1+t,\\ x(0)=-1,\quad y(0)=0,\quad z(0)=1. \end{cases}
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用 x=−y′x=-y' 消元，可化成

y′′′−y′′+y′−y=1+3t.y'''-y''+y'-y=1+3t.

代入初值后，我当时提交的结果可整理为

x(t)=−3et+sin⁡t−cos⁡t+3,y(t)=3et+cos⁡t+sin⁡t−3t−4,z(t)=2−2t−cos⁡t+sin⁡t.\begin{aligned} x(t)&=-3e^t+\sin t-\cos t+3,\\ y(t)&=3e^t+\cos t+\sin t-3t-4,\\ z(t)&=2-2t-\cos t+\sin t. \end{aligned}

在 t=0t=0 时确有 (x,y,z)=(−1,0,1)(x,y,z)=(-1,0,1)。

4. 常系数齐次系统的渐近稳定性（根据作答还原）

证明 X′=AX\boldsymbol X'=A\boldsymbol X 的所有解都满足 X(t)→0\boldsymbol X(t)\to0，当且仅当 AA 的全部特征值实部都小于零。

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把 AA 化到 Jordan 标准形后，每个解分量都是

tkeλtt^k e^{\lambda t}

的线性组合。若所有 Re⁡λ<0\operatorname{Re}\lambda<0，指数衰减压过任意有限次多项式增长，所以每项都趋于零。

反过来，若存在 Re⁡λ>0\operatorname{Re}\lambda>0，沿对应（广义）特征向量就能构造发散解；若 Re⁡λ=0\operatorname{Re}\lambda=0，相应项至少不会趋于零。于是“所有解趋零”迫使所有特征值实部严格为负。

5. 矩阵指数（根据作答还原）

证明 eAte^{At} 是 X′=AX\boldsymbol X'=A\boldsymbol X 满足 X(0)=IX(0)=I 的基解矩阵，并证明

eAteAs=eA(t+s).e^{At}e^{As}=e^{A(t+s)}.
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由幂级数定义逐项求导，

ddteAt=AeAt,eA⋅0=I.\frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At},\qquad e^{A\cdot0}=I.

所以它正是标准基解矩阵。对固定的 ss，eAteAse^{At}e^{As} 与 eA(t+s)e^{A(t+s)} 都满足同一个矩阵初值问题

X′=AX,X(0)=eAs.X'=AX,\qquad X(0)=e^{As}.

由解的唯一性，两者相等。

6. 指数型非齐次项（根据作答还原）

设 mm 不是 AA 的特征值。证明

X′=AX+cemt\boldsymbol X'=A\boldsymbol X+\boldsymbol c e^{mt}

有形如 pemt\boldsymbol p e^{mt} 的特解。

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代入 Xp=pemt\boldsymbol X_p=\boldsymbol p e^{mt}，约去 emte^{mt} 后得到

(mI−A)p=c.(mI-A)\boldsymbol p=\boldsymbol c.

因为 mm 不是特征值，mI−AmI-A 可逆，故

p=(mI−A)−1c.\boldsymbol p=(mI-A)^{-1}\boldsymbol c.

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