常微分方程试卷 · 源文件《2016》

#真题

源文件《2016.pdf》是一页完整试卷，但卷面没有学校、课程、日期或学年标题。文件名只写“2016”，PDF 元数据显示创建于 2017 年 1 月 16 日；这些信息不足以确认它对应的确切学年，因此我保留源文件名，不把年份推断成卷面事实。源文件没有附答案，下面只转录题目。

一、填空题

  1. 方程

    dydx=y2−1\frac{dy}{dx}=y^2-1

    满足初值条件 y(0)=−1y(0)=-1 的解为 y(x)=y(x)= ____。

  2. 已知 f(t)=etsin⁡(2t)f(t)=e^t\sin(2t)，它的拉普拉斯变换 L[f(t)]=L[f(t)]= ____。

  3. 设矩阵

    A=(1−221),A=\begin{pmatrix}1&-2\\2&1\end{pmatrix},

    则 eAx=e^{Ax}= ____。

  4. 设五阶常系数线性齐次方程的三个特征根为 i−1i-1、2−i2-i、3+2i3+2i，则此方程的通解为 y(x)=y(x)= ____。

  5. 方程

    dydx=yx+x2\frac{dy}{dx}=\frac yx+x^2

    的通解为 y(x)=y(x)= ____。

第 4 小题的“阶数”和所列复特征根在实系数情形下可能不相容；卷面原文如此，这里不替原题改写条件。

二、求解下列方程或变分问题

  1. 求解

    dydx=ey(x2+1).\frac{dy}{dx}=e^y(x^2+1).

  2. 求解

    y=(y′−1)ey′.y=(y'-1)e^{y'}.

  3. 求解

    dydx=x+exsin⁡yy2−excos⁡y.\frac{dy}{dx} =\frac{x+e^x\sin y}{y^2-e^x\cos y}.

  4. 求解

    (y−x)y′′+(y′)2−2y′=1−sin⁡x.(y-x)y''+(y')^2-2y'=1-\sin x.

  5. 求泛函

    J[y]=∫aby(1+(y′)2) dxJ[y]=\int_a^b\sqrt{y\bigl(1+(y')^2\bigr)}\,dx

    的极值曲线。

三、Euler 方程初值问题

求解

x3y(3)+x2y′′−4xy′=3x2,x^3y^{(3)}+x^2y''-4xy'=3x^2,

其中

y(1)=y′(1)=y′′(1)=0.y(1)=y'(1)=y''(1)=0.

四、二维线性系统

求解

{dxdt=2x+y,dydt=4x−y.\begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=2x+y,\\[4pt] \dfrac{dy}{dt}=4x-y. \end{cases}

五、全局存在性证明

设函数 f(y)f(y) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上连续可微，且满足

yf(y)<0(y≠0).yf(y)<0\qquad(y\neq0).

证明方程

dydx=f(y)\frac{dy}{dx}=f(y)

过点 (x0,y0)(x_0,y_0) 的解 y(x)y(x) 在区间 [x0,+∞)[x_0,+\infty) 上有定义。

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