2007–2008 学年第一学期期末真题

#真题

源卷日期为 2008 年 1 月 21 日，没有附官方答案。

一、选择题（20 分）

1. 关于 yy 的 Lipschitz 条件能推出什么？

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选 B：关于 yy 连续。Lipschitz 比连续更强，但不自动推出对 (x,y)(x,y) 联合连续、偏导存在或全区域有界。

2. f(x,y)f(x,y) 连续能保证初值问题怎样？

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选 A：局部解存在。唯一性还需要额外条件。

3. 若 x4exx^4e^x 是常系数齐次方程的解

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选 D：x3exx^3e^x 也一定是解。事实上 λ=1\lambda=1 的重数至少为五，因而 ex,xex,…,x4exe^x,xe^x,\ldots,x^4e^x 都属于对应解空间。

4. 一阶线性齐次系统的 Wronski 行列式

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选 C。Abel 公式为

W(x)=Cexp⁡(∫tr⁡A(x)dx),W(x)=C\exp\left(\int\operatorname{tr}A(x)dx\right),

其中 CC 也允许为零。

5. 解对初值的偏导

对 y′=ex3sin⁡(x2y)y'=e^{x^3}\sin(x^2y)，在基准初值 (x0,y0)=(0,0)(x_0,y_0)=(0,0) 处判断给出的偏导公式。

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基准解为 y≡0y\equiv0。对 y0y_0 的变分满足

z′=x2ex3z,z(0)=1,z'=x^2e^{x^3}z,\qquad z(0)=1,

故

∂y∂y0=exp⁡(ex3−13).\frac{\partial y}{\partial y_0} =\exp\left(\frac{e^{x^3}-1}{3}\right).

卷面对应选项为 B。

二、解微分方程（40 分）

1. y′=y3/(xy2−1)y'=y^3/(xy^2-1)

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把 xx 看成 yy 的函数，得到

dxdy−xy=−1y3.\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=-\frac1{y^3}.

积分后

x=Cy+13y2.x=Cy+\frac1{3y^2}.

反解时除掉了 yy，所以还要补上常值解 y≡0y\equiv0。

2. x3y′′′+x2y′′−4xy′=3x2x^3y'''+x^2y''-4xy'=3x^2

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指标多项式为 m(m−3)(m+1)m(m-3)(m+1)，故

y=C1+C2x3+C3x−1−x22.y=C_1+C_2x^3+C_3x^{-1}-\frac{x^2}{2}.

3. y′=(x3+exsin⁡y)/(y−excos⁡y)y'=(x^3+e^x\sin y)/(y-e^x\cos y)

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改写后是恰当方程，通解为

y22−x44−exsin⁡y=C.\frac{y^2}{2}-\frac{x^4}{4}-e^x\sin y=C.

4. x=cos⁡y′x=\cos y'

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令 p=y′p=y'，得到参数解

x=cos⁡p,y=pcos⁡p−sin⁡p+C.x=\cos p,\qquad y=p\cos p-\sin p+C.

5. xyy′′+x(y′)2−yy′=0xyy''+x(y')^2-yy'=0

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令 u=yy′u=yy'，则 xu′−u=0xu'-u=0，所以

y2=C1x2+C2.y^2=C_1x^2+C_2.

三、非线性系统的奇点与稳定性（15 分）

x′=ax−y,y′=x3+ay,a≠0.x'=ax-y,\qquad y'=x^3+ay,\qquad a\ne0.
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唯一奇点是原点。线性化特征值为 a±ia\pm i：

  • a<0a<0 时原点局部渐近稳定，是稳定焦点；
  • a>0a>0 时原点不稳定，是不稳定焦点。

四、线性系统与相图（15 分）

求 x′=x−3y, y′=2x−4yx'=x-3y,\ y'=2x-4y 的通解，判断奇点类型并作相图。

查看答案 (xy)=C1e−t(32)+C2e−2t(11).\binom{x}{y} =C_1e^{-t}\binom32+C_2e^{-2t}\binom11.

两个特征值都为负，原点是稳定结点。相轨线沿两条特征方向进入原点，一般轨线在远期与较慢的 λ=−1\lambda=-1 方向相切。

五、非齐次方程的 n+1n+1 个解（10 分）

证明 nn 阶线性非齐次方程（ff 连续、系数为常数）存在 n+1n+1 个线性无关解。

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设 ypy_p 是特解，y1,…,yny_1,\ldots,y_n 是齐次方程基本解组。可取

yp,yp+y1,…,yp+yn.y_p,\quad y_p+y_1,\quad\ldots,\quad y_p+y_n.

对它们作线性组合并作用原微分算子，先得到所有系数之和为零，再利用 yiy_i 的线性无关性得到每个系数都为零。

严格地说，这一结论需要 f≢0f\not\equiv0；若 f≡0f\equiv0，题目退化为 nn 维齐次解空间，不可能有 n+1n+1 个线性无关解。卷面没有写出这个必要条件。

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