2015–2016 学年期末真题

源 JPG 拼接了多份材料；我只收录其中卷面明确写有“常微分方程 2015 年期末考试，January 11, 2016”的正式试卷，不把同图里的无日期转写稿另算一份。源文件没有官方答案。

一、填空题（20 分）

1. 解的定义区间

$$y'=\frac1{x^2+\sin(xy)+2},\qquad y(x_0)=y_0.$$

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分母始终不小于 $1$，故 $|y'|\le1$，右端又处处光滑。解不会有限时刻逃向无穷，最大定义区间为 $\mathbb R$。

2. Clairaut 方程

求 $y=xy'+(y')^2+1$ 的通解。

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一般解和奇解分别为

$$y=Cx+C^2+1,\qquad y=1-\frac{x^2}{4}.$$

3. 向量函数能否构成基本解组

$$Y_1=(1,x,0)^\mathsf T,\quad Y_2=(e^x,1,x)^\mathsf T,\quad Y_3=(\sin x,\cos x,x)^\mathsf T.$$

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按题目通常默认的共同区间 $\mathbb R$ 来理解，不能。在 $x=0$ 时三个向量的第三分量都为零，组成的矩阵行列式为零。连续系数线性齐次系统的基本解矩阵不可能在共同区间内某一点单独退化。

若允许把定义区间任意缩到不含 $0$ 的小区间，则还要在那个区间重新检查行列式；卷面没有作这种额外限定。

4. 六阶齐次方程

已知特征根 $2,0,i,2+3i$，写出实通解。

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补上共轭根，

$$y=C_1e^{2x}+C_2+C_3\cos x+C_4\sin x +e^{2x}(C_5\cos3x+C_6\sin3x).$$

5. Laplace 变换

求 $f(t)=e^t\sin t$ 的 Laplace 变换。

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$$\mathcal L[f]=\frac1{(s-1)^2+1}.$$

二、解微分方程（40 分）

1. $y'=x(1+y^2)$

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$$\arctan y=\frac{x^2}{2}+C.$$

2. $y'=(x+y-1)/(2x-y+1)$

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令 $X=x$、$Y=y-1$、$v=Y/X$，方程化为齐次方程。积分得到

$$-\frac12\ln(v^2-v+1) +\sqrt3\arctan\frac{2v-1}{\sqrt3} =\ln|X|+C.$$

3. $y=(y')^2+xy'+x$

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令 $p=y'$。这是 Lagrange 方程，参数通解可写为

$$x=2-2p+Ce^{-p},\qquad y=x(p+1)+p^2.$$

4. $yy''+(y')^2+1=0$

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因为 $(yy')'=(y')^2+yy''$，连续积分两次得

$$y^2=-x^2+C_1x+C_2.$$

5. $x^2y''-4xy'+6y=x$

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指标根为 $2,3$，一次项特解是 $x/2$，所以

$$y=C_1x^2+C_2x^3+\frac x2.$$

三、四阶初值问题（15 分）

$$y^{(4)}+2y''+y=x,\qquad y(0)=y'(0)=y''(0)=y^{(3)}(0)=0.$$

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齐次算子为 $(D^2+1)^2$，$y=x$ 是特解。代入四个初值后

$$y=x+\frac x2\cos x-\frac32\sin x.$$

四、线性方程组（15 分）

求 $x'=-x-2y,\ y'=x-4y$ 的通解。

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$$\binom{x}{y} =C_1e^{-2t}\binom21+C_2e^{-3t}\binom11.$$

五、自治方程的长期行为（10 分）

设 $f\in C^1(\mathbb R)$ 且 $yf(y)<0$（$y\ne0$）。证明 $y'=f(y)$ 过 $(x_0,y_0)$ 的解向前全局存在，且趋于零。

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沿解有 $(y^2)'=2yf(y)<0$，所以 $|y|$ 单调不增，解始终有界，因而可向前无限延拓。$|y|$ 的极限若为正数，则 $|f(y)|$ 在极限附近有正下界，解不可能趋于该非零极限。故

$$\lim_{x\to+\infty}y(x)=0.$$