2018 年 9 系 A 卷真题

正式性与年份来自源文件名“2018 年 9 系常微分 A 卷”；卷面本身未写具体学期。源文件没有官方答案，以下解析按题面推导。

一、填空题

1. 方程阶数与线性

$$x\frac{d^5y}{dx^5}+y\frac{d^3y}{dx^3}+3x\frac{dy}{dx}=x^3y^2-1$$

是几阶、是否线性？

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五阶非线性方程。$y\,y^{(3)}$ 和 $y^2$ 都破坏了线性。

2. $e^{-t}\cos2t$ 的 Laplace 变换

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$$\frac{s+1}{(s+1)^2+4}.$$

3. 标准基解矩阵

$$\binom{x}{y}'= \begin{pmatrix}1&-2\\2&1\end{pmatrix}\binom{x}{y}.$$

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$$\Phi(t)=e^t \begin{pmatrix} \cos2t&-\sin2t\\ \sin2t&\cos2t \end{pmatrix}.$$

4. Bernoulli 方程

求 $y'=y\tan x-y^2\cos x$ 的通解。

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$y=0$ 是解。令 $z=1/y$，得到 $z'+z\tan x=\cos x$，故

$$y=\frac{\sec x}{x+C}.$$

5. 奇解

求 $y=xy'+4+(y')^2$ 的奇解。

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这是 Clairaut 方程。令 $p=y'$，由 $x+2p=0$ 消参得

$$y=4-\frac{x^2}{4}.$$

二、解方程

1. $y'+e^{y^2+3x}/y=0$

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乘以 $ye^{-y^2}$ 后可识别 $e^{-y^2}$ 的导数，得到

$$e^{-y^2}=\frac23e^{3x}+C.$$

2. $(x-y\cos(y/x))dx+x\cos(y/x)dy=0$

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令 $u=y/x$，则 $dy=u\,dx+x\,du$，交叉项消掉，得到

$$\frac{dx}{x}+\cos u\,du=0.$$

所以

$$\ln|x|+\sin\frac yx=C.$$

3. $x\sqrt{1-(y')^2}=2y'$

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$$y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}},\qquad y=\sqrt{x^2+4}+C.$$

4. $(x-1)y''+2xy'+(x+1)y=0$

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令 $y=e^{-x}u$，方程降为

$$(x-1)u''+2u'=0.$$

故

$$y=e^{-x}\left(C_1+\frac{C_2}{x-1}\right).$$

5. $xy'''-y''=x^2e^x$

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令 $v=y''$，则 $(v/x)'=e^x$。连续积分可得

$$y=(x-2)e^x+C_1x^3+C_2x+C_3,$$

其中 $C_1$ 已吸收原式中的 $1/6$。

三、高阶常系数方程

求

$$y'''-y''-4y'+4y=\sin x+e^x.$$

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特征多项式为 $(r-1)(r-2)(r+2)$。因此

$$\begin{aligned} y={}&C_1e^x+C_2e^{2x}+C_3e^{-2x} -\frac13xe^x\\ &+\frac1{10}(\sin x+\cos x). \end{aligned}$$

四、线性方程组

求 $x'=x-3y,\ y'=2x-4y$。

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特征值为 $-1,-2$，相应特征向量可取 $(3,2)^\mathsf T$、$(1,1)^\mathsf T$：

$$\binom{x}{y} =C_1e^{-t}\binom32+C_2e^{-2t}\binom11.$$

五、唯一性的等价命题

证明

$$\boldsymbol Y'=A(x)\boldsymbol Y+\boldsymbol F(x), \quad \boldsymbol Y(x_0)=\boldsymbol Y_0$$

解唯一，当且仅当对应齐次零初值问题的零解唯一。

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两个非齐次解之差满足齐次零初值问题；反过来，把任一非零齐次零初值解加到某个非齐次解上，就会得到第二个非齐次解。两个方向分别用这两个构造即可。