第 8 次作业：采样定理与频谱混叠

我按 8信号与系统第八次作业.pdf 整理。第一题源答案自己标注了题设问题，下面把“原答案”与严格结论分开说明。

1. 带限信号采样

最高频率为 800 Hz 的带限信号 $f(t)$ 经均匀采样后，希望通过理想低通滤波器完全恢复：

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Nyquist 条件要求

f_s=\frac1T\ge2\times800=1600\text{ Hz},

即

T\le0.625\text{ ms}.

当 $T=2\text{ ms}$ 时， $f_s=500\text{ Hz}$ ，远低于 1600 Hz，频谱已经混叠。对任意原始 800 Hz 带限信号，不存在一个理想低通截止频率能保证完全恢复。

源文件写了“ $f_c\le250\text{ Hz}$ ”，随后也注明“本题出得有一点问题”。这个数只说明采样后主值区间的上界 $f_s/2=250\text{ Hz}$ ，不能消除已经发生的混叠。若采样率本来满足定理，恢复滤波器才应在“原信号带宽以上、第一幅频谱副本开始之前”选择截止频率。

对

x(t)=\cos(\omega_0t)

以 $T=2\pi/\omega_s$ 采样，其中 $\omega_0<\omega_s<2\omega_0$ 。

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采样使原来位于 $\pm\omega_0$ 的冲激谱以 $\omega_s$ 为间隔重复。由于 $\omega_s<2\omega_0$ ，副本重叠，基带中看到的等效频率是 $|\omega_0-\omega_s|$ 。

因此一种低通重构为

x_r(t)=\cos[(\omega_0-\omega_s)t],

它通常不等于原信号。但在采样点上

x_r(nT)=\cos(\omega_0nT-\omega_snT) =\cos(\omega_0nT-2\pi n) =x(nT).

这正是混叠：不同连续信号产生完全相同的样本。

已知 $f(t)$ 的最高角频率为 $\omega_m$ ，求下列信号不混叠时的最大采样间隔：

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时间伸缩 $f(at)$ 的带宽变为 $|a|\omega_m$ 。

第一题两个带宽为 $\omega_m/2$ 与 $\omega_m/3$ ，相加后取较大者：

\omega_{\max}=\frac{\omega_m}{2}, \qquad T_{\max}=\frac{\pi}{\omega_{\max}} =\frac{2\pi}{\omega_m}.

第二题时域相乘对应频域卷积，带宽相加：

\omega_{\max}=\frac{\omega_m}{2}+\frac{\omega_m}{3} =\frac{5\omega_m}{6},

T_{\max}=\frac{\pi}{\omega_{\max}} =\frac{6\pi}{5\omega_m}.

可记住：时域相加时带宽取最大值，时域相乘时频域卷积、带宽相加，时域卷积时频域相乘、公共支撑往往取较小者。