第 7 次作业：DFT、DTFT 与频域抽样

#作业

我按 7信号与系统第七次作业.pdf 整理。原文件的小题编号有跳号，下面按实际三道大题重排，不改变题目内容。

1. 求 DFT

求下列有限长信号的 DFT：

  1. x[n]=sin⁡(2πn/5)+cos⁡(4πn/5)x[n]=\sin(2\pi n/5)+\cos(4\pi n/5)，N=5N=5；
  2. x[n]=δ[n]+δ[n−1]−δ[n−2]−δ[n−3]x[n]=\delta[n]+\delta[n-1]-\delta[n-2]-\delta[n-3]，N=4N=4；
  3. 同一序列按 N=5N=5 作 DFT。
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第一题的正弦落在第 1、4 个频点，余弦落在第 2、3 个频点：

X[k]=[0,−52j,52,52,52j].X[k]=[0,-\tfrac52j,\tfrac52,\tfrac52,\tfrac52j].

第二题：

X[k]=[0,2−2j,0,2+2j].X[k]=[0,2-2j,0,2+2j].

第三题可保留为精确表达式

X[k]=1+e−j2πk/5−e−j4πk/5−e−j6πk/5,k=0,…,4.X[k]=1+e^{-j2\pi k/5}-e^{-j4\pi k/5}-e^{-j6\pi k/5}, \quad k=0,\ldots,4.

2. 移位、DTFT 与稀疏频域抽样

设

x[n]=δ[n]+δ[n−1]−δ[n−2]−δ[n−3],N=4.x[n]=\delta[n]+\delta[n-1]-\delta[n-2]-\delta[n-3], \qquad N=4.
  1. 求循环移位 x[n−1]x[n-1]、x[n−2]x[n-2] 的 DFT；
  2. 求 x[n]x[n] 的 DTFT；
  3. 在一个 2π2\pi 周期内只等间隔抽两个 DTFT 样本，构造对应时域序列 xp[n]x_p[n]；
  4. 能否仅由这个 xp[n]x_p[n] 恢复原 x[n]x[n]？
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原序列 DFT 为 X=[0,2−2j,0,2+2j]X=[0,2-2j,0,2+2j]。循环延时 mm 点对应乘 e−j2πkm/Ne^{-j2\pi km/N}，因此

DFT⁡{x[n−1]}=[0,−2−2j,0,−2+2j],\operatorname{DFT}\{x[n-1]\} =[0,-2-2j,0,-2+2j], DFT⁡{x[n−2]}=[0,−2+2j,0,−2−2j].\operatorname{DFT}\{x[n-2]\} =[0,-2+2j,0,-2-2j].

DTFT 为

X(ejΩ)=1+e−jΩ−e−j2Ω−e−j3Ω.X(e^{j\Omega})=1+e^{-j\Omega}-e^{-j2\Omega}-e^{-j3\Omega}.

若只取 Ω=0,π\Omega=0,\pi 两个等间隔样本，它们都为 0，所以一种合法的重构结果是全零序列 xp[n]=0x_p[n]=0。它显然不能恢复原序列，说明少于 NN 个频域样本时一般会丢失信息。

3. N 点频域样本能否恢复 N 点序列

证明：对长度为 NN 的离散序列 x[n]x[n]，在一个 2π2\pi 周期内等间隔抽取 NN 个 DTFT 样本，可以恢复原序列。

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在 Ωk=2πk/N\Omega_k=2\pi k/N 处抽样：

X[k]=X(ejΩk)=∑n=0N−1x[n]e−j2πkn/N,X[k]=X(e^{j\Omega_k}) =\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N},

这正是 NN 点 DFT。利用复指数正交性

∑k=0N−1ej2πk(n−m)/N=Nδ[n−m],\sum_{k=0}^{N-1}e^{j2\pi k(n-m)/N} =N\delta[n-m],

可得 IDFT：

x[n]=1N∑k=0N−1X[k]ej2πkn/N,0≤n<N.x[n]=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1} X[k]e^{j2\pi kn/N},\qquad 0\le n<N.

所以“NN 个样本”与上一题“只取两个样本”的差别不在形式，而在是否拥有足够的独立频域信息。

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