第 10 讲：z 变换、收敛域与系统函数

z 变换是离散序列的复频域表示，与连续系统的拉普拉斯变换平行：

X(z)=∑n=−∞∞x[n]z−n.X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}.

令 z=rejΩz=re^{j\Omega}，则 z−n=r−ne−jΩnz^{-n}=r^{-n}e^{-j\Omega n}。半径 rr 控制指数加权，角度 Ω\Omega 控制振荡。

基本变换与 ROC

右边指数：

anu[n]⟷11−az−1=zz−a,∣z∣>∣a∣.a^n u[n]\longleftrightarrow \frac1{1-az^{-1}}=\frac z{z-a}, \qquad |z|>|a|.

左边指数：

−anu[−n−1]⟷11−az−1,∣z∣<∣a∣.-a^n u[-n-1]\longleftrightarrow \frac1{1-az^{-1}}, \qquad |z|<|a|.

同一个代数式因 ROC 不同对应不同序列。ROC 是以原点为中心的圆环，不包含极点。

有限长右边序列的 ROC 通常是除 z=0z=0 外整个平面；有限长左边序列可能排除无穷。双边有理序列的 ROC 位于两组极点之间。

双边序列的两个收敛条件叠加后，ROC 就是两条极点半径之间的圆环，而不是任意形状的二维区域。

双边序列在 z 平面中的环形收敛域

性质

若 x[n]↔X(z)x[n]\leftrightarrow X(z)：

x[n−n0]↔z−n0X(z),x[n-n_0]\leftrightarrow z^{-n_0}X(z), anx[n]↔X(z/a),a^nx[n]\leftrightarrow X(z/a), nx[n]↔−zdXdz,nx[n]\leftrightarrow-z\frac{dX}{dz}, x∗h↔X(z)H(z).x*h\leftrightarrow X(z)H(z).

时间反转满足

x[−n]↔X(z−1),x[-n]\leftrightarrow X(z^{-1}),

ROC 的内外也相应翻转。

逆 z 变换

常用四种办法：

  1. 对照基本变换对并结合 ROC；
  2. 幂级数长除法，直接读 z−nz^{-n} 系数；
  3. 部分分式展开；
  4. 复积分留数。

有理式做部分分式后，必须逐项根据整个 ROC 决定右边或左边。只把每个极点都写成因果项，会悄悄假定 ROC 在最外极点之外。

单边 z 变换

单边变换

X+(z)=∑n=0∞x[n]z−nX^+(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}

适合带初始条件的差分方程。例如

Z+{x[n−1]}=z−1X+(z)+x[−1].\mathcal Z_+\{x[n-1]\} =z^{-1}X^+(z)+x[-1].

不同移位方向会带入不同初始样本，使用前应从求和定义推一次，避免机械背错符号。

系统函数

零初始状态下

H(z)=Y(z)X(z)=Z{h[n]}.H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} =\mathcal Z\{h[n]\}.

若差分方程为

∑k=0Naky[n−k]=∑m=0Mbmx[n−m],\sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k] =\sum_{m=0}^{M}b_mx[n-m],

则

H(z)=∑m=0Mbmz−m∑k=0Nakz−k.H(z)= \frac{\sum_{m=0}^{M}b_mz^{-m}} {\sum_{k=0}^{N}a_kz^{-k}}.

分子根是零点，分母根是极点。极点对应系统自然模式；单位圆上 z=ejΩz=e^{j\Omega} 的取值若存在，就是频率响应

H(ejΩ).H(e^{j\Omega}).

因果与稳定

对有理 LTI 系统：

  • 因果：h[n]h[n] 为右边序列，ROC 在最外极点之外；
  • 稳定：∑∣h[n]∣<∞\sum|h[n]|<\infty，等价于 ROC 包含单位圆；
  • 因果且稳定：所有极点严格在单位圆内。

最后一条不能反过来脱离 ROC 使用。若系统非因果，极点在单位圆外也可能通过内侧 ROC 得到稳定的左边响应。

初值与终值

在条件满足时，

x[0]=lim⁡z→∞X(z),x[0]=\lim_{z\to\infty}X(z), lim⁡n→∞x[n]=lim⁡z→1(1−z−1)X(z).\lim_{n\to\infty}x[n] =\lim_{z\to1}(1-z^{-1})X(z).

终值定理要求 (1−z−1)X(z)(1-z^{-1})X(z) 的极点都严格在单位圆内；若有单位圆上的持续振荡，形式极限没有意义。

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