第 9 讲：离散卷积与差分方程响应

离散 LTI 系统的零状态响应为

$$y[n]=x[n]*h[n] =\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k].$$

与连续卷积相比，积分变成求和；翻转、平移、找重叠的思想不变。

图解与列表法

固定 $n$：

1. 写出 $x[k]$；
2. 把 $h[k]$ 反转成 $h[-k]$；
3. 平移成 $h[n-k]$；
4. 对相同 $k$ 位置的乘积求和。

有限序列也可直接列多项式式乘法。若

$$x=\{x_0,\ldots,x_{L-1}\},\qquad h=\{h_0,\ldots,h_{M-1}\},$$

线性卷积长度最多为 $L+M-1$，第 $n$ 项是所有满足 $i+j=n$ 的乘积之和。

指数序列卷积

对两个因果指数

$$x[n]=a^n u[n],\qquad h[n]=b^n u[n],$$

因果性把求和范围缩为 $0\le k\le n$：

$$y[n]=\sum_{k=0}^{n}a^kb^{n-k}.$$

若 $a\ne b$，

$$y[n]=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}u[n].$$

若 $a=b$，不能直接代入分母为零的公式，应回到求和：

$$y[n]=(n+1)a^n u[n].$$

差分与累加

单位阶跃是单位样值的累加：

$$u[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}\delta[k].$$

因此

$$x[n]*u[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}x[k].$$

而与 $\delta[n]-\delta[n-1]$ 卷积得到一阶差分：

$$x[n]*(\delta[n]-\delta[n-1]) =x[n]-x[n-1].$$

累加器和差分器互为逆系统（在适当初始条件下）。

由差分方程求 $h[n]$

令输入 $x[n]=\delta[n]$、系统初始静止，再递推输出，就得到单位样值响应。

例如

$$y[n]-ay[n-1]=x[n]$$

在初始静止下有

$$h[n]=a^n u[n].$$

于是任意输入的零状态响应是 $x*h$。若另有非零初始条件，还要单独加零输入响应。

系统互联

两个离散 LTI 系统串联：

$$h_{\mathrm{eq}}=h_1*h_2.$$

并联：

$$h_{\mathrm{eq}}=h_1+h_2.$$

卷积交换律说明 LTI 串联系统的次序不影响零状态输入输出关系，但实际内部状态、数值溢出和有限字长实现仍可能不同。

线性卷积与循环卷积

这里的卷积和默认是线性卷积，序列在范围外补零。DFT 所对应的是按 $N$ 周期延拓后的循环卷积：

$$y_N[n]=\sum_{k=0}^{N-1} x[k]h[(n-k)\bmod N].$$

只有充分补零使 $N\ge L+M-1$，循环卷积才与线性卷积一致。

检查答案

• 有限序列输出长度是否为 $L+M-1$；
• 因果输入与因果系统的输出是否仍在 $n<0$ 为零；
• 卷积总和满足

$$\sum_n y[n]= \left(\sum_nx[n]\right) \left(\sum_nh[n]\right)$$

（绝对可和时）。这三个检查能快速发现索引或漏项错误。