作业三：曲线曲面或网格处理

#作业

题目

本次作业主要考核 Bezier 曲线、Bezier 曲面、网格表示、半边结构和网格细分。以下两个分支二选一。

分支 A：曲线曲面

  1. 用一段或多段 Bezier 曲线表示一个圆，简述原理，并用 de Casteljau 算法绘制封闭曲线及控制点。（4 分）
  2. 根据 teapot.py 给出的 32 个分块双三次 Bezier 曲面的控制点，渲染 Utah Teapot 曲面。（6 分）

分支 B：网格处理

读取 bunny.obj 三角网格并转为半边结构，完成两轮 Loop 细分，渲染细分前后网格，并把细分后网格保存为 OBJ 后提交。（10 分）

提交代码与报告，说明实现过程并给出渲染图像。

查看所选分支与提交结果

我当时选择了分支 A：曲线曲面，没有提交 bunny 网格与 Loop 细分结果。

1. 分段 Bezier 近似圆

实现把圆分成四个象限，每个象限用三次 Bezier 曲线近似，并用 de Casteljau 的递归线性插值求点：

Pi(r)=(1−t)Pi(r−1)+tPi+1(r−1).\mathbf P_i^{(r)} =(1-t)\mathbf P_i^{(r-1)} +t\mathbf P_{i+1}^{(r-1)}.

四段共用端点后形成封闭曲线：

四段 Bezier 圆与控制点

源代码的中间控制坐标取 0.50.5。需要注意，三次 Bezier 不能精确表示圆；常见四分之一圆近似会取

κ=4(2−1)3≈0.55228475\kappa=\frac{4(\sqrt2-1)}{3}\approx0.55228475

来减小径向误差。源结果属于可见上接近圆的近似，不是解析意义的精确圆。

2. Utah Teapot

程序把每个 patch 的 16 个控制点还原成 4×44\times4 网格，按

S(u,v)=∑i=03∑j=03Bi3(u)Bj3(v)Pij\mathbf S(u,v) = \sum_{i=0}^3\sum_{j=0}^3 B_i^3(u)B_j^3(v)\mathbf P_{ij}

采样双三次 Bezier 曲面，再用 OpenGL 绘制 32 个 patch 的线框：

Utah Teapot 双三次 Bezier 曲面

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