第 1 次作业：分子碰撞与理想气体过程

#作业

题 3.12

电子管的真空度为 1.333×10−3 Pa1.333\times10^{-3}\ \mathrm{Pa}。设空气分子的有效直径为 3.0×10−10 m3.0\times10^{-10}\ \mathrm m，求 27 ∘C27\ ^\circ\mathrm C 时单位体积内的分子数 nn、平均自由程 λ\lambda 和平均碰撞频率 ZZ。

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由理想气体的微观状态方程，

n=pkBT=1.333×10−31.38×10−23×300.15≈3.22×1017 m−3.n=\frac{p}{k_BT} =\frac{1.333\times10^{-3}} {1.38\times10^{-23}\times300.15} \approx3.22\times10^{17}\ \mathrm{m^{-3}}.

硬球模型给出的平均自由程为

λ=12πd2n≈7.76 m.\lambda=\frac{1}{\sqrt2\pi d^2n} \approx7.76\ \mathrm m.

空气分子的平均速率取

vˉ=8RTπM,\bar v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}},

其中按空气的平均摩尔质量取

M≈2.9×10−2 kg mol−1,M\approx2.9\times10^{-2}\ \mathrm{kg\,mol^{-1}},

在 T=300.15 KT=300.15\ \mathrm K 时有 vˉ≈4.68×102 m s−1\bar v\approx4.68\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}。于是平均碰撞频率

Z=vˉλ≈60.2 s−1.Z=\frac{\bar v}{\lambda}\approx60.2\ \mathrm{s^{-1}}.

题 4.1

在 pp-VV 图上画出以下理想气体完成的准静态过程：

  1. p=kVp=kV；
  2. p=kTp=kT；
  3. V=kTV=kT。

其中 kk 为常数。并计算当系统体积由 V1V_1 变至 V2V_2 时，三个过程中系统对外界所作的功。

展开我当时提交的解答

  1. p=kVp=kV 在 pp-VV 图上是一条过原点的直线，

    W=∫V1V2p dV=∫V1V2kV dV=k2(V22−V12).W=\int_{V_1}^{V_2}p\,\mathrm dV =\int_{V_1}^{V_2}kV\,\mathrm dV =\frac{k}{2}\left(V_2^2-V_1^2\right).

  2. 联立 p=kTp=kT 与 pV=νRTpV=\nu RT，得到 V=νR/kV=\nu R/k，所以这是等体过程，

    W=0.W=0.

  3. 联立 V=kTV=kT 与 pV=νRTpV=\nu RT，得到 p=νR/kp=\nu R/k，所以这是等压过程，

    W=p(V2−V1)=νRk(V2−V1).W=p(V_2-V_1)=\frac{\nu R}{k}(V_2-V_1).

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