第 19 讲：波函数、概率幅与薛定谔方程

经典力学用位置和速度描述状态，量子力学用波函数 ψ(r⃗,t)\psi(\vec r,t)。它不是直接可测的物质密度，而是概率幅。

自由粒子的平面波

确定动量和能量的自由粒子可写成

ψ(r⃗,t)=Aexp⁡[i(k⃗⋅r⃗−ωt)].\psi(\vec r,t) =A\exp[i(\vec k\cdot\vec r-\omega t)].

de Broglie 与 Planck 关系：

p⃗=ℏk⃗,E=ℏω.\vec p=\hbar\vec k, \qquad E=\hbar\omega.

单个无限平面波在全空间不可普通归一化，也意味着位置完全不确定。局域粒子要用不同波数的平面波叠加成波包。

Born 统计解释

ρ(r⃗,t)=∣ψ(r⃗,t)∣2\rho(\vec r,t)=|\psi(\vec r,t)|^2

是概率密度。在体积 VV 内发现粒子的概率：

PV=∫V∣ψ∣2 dV.P_V=\int_V|\psi|^2\,\mathrm dV.

归一化要求

∫all space∣ψ∣2 dV=1.\int_{\text{all space}}|\psi|^2\,\mathrm dV=1.

波函数可乘任意整体相位 eiαe^{i\alpha}，所有概率不变；真正可观察的是相对相位带来的干涉。

合格波函数

课件强调波函数应单值、有限、连续并可归一化。对有限势能区域，通常还要求一阶导数连续。无限势垒边界是特殊情况，应由边界条件具体判断。

力学量由算符表示

一维中：

x^=x,p^x=−iℏ∂∂x,\hat x=x, \qquad \hat p_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}, H^=−ℏ22m∇2+U(r⃗,t).\hat H= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\vec r,t).

若

A^ψ=aψ,\hat A\psi=a\psi,

则 ψ\psi 是算符 A^\hat A 的本征态，aa 是可能测量值。

一般态下的平均值

⟨A⟩=∫ψ∗A^ψ dV.\langle A\rangle =\int\psi^*\hat A\psi\,\mathrm dV.

含时薛定谔方程

非相对论量子态的时间演化满足

iℏ∂ψ∂t=H^ψ.i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =\hat H\psi.

它在量子力学中的地位类似 Newton 方程，但演化的是概率幅而不是确定轨道。

定态

若势能与时间无关，令

ψ(r⃗,t)=ϕ(r⃗)e−iEt/ℏ,\psi(\vec r,t)=\phi(\vec r)e^{-iEt/\hbar},

代入得到定态薛定谔方程：

−ℏ22m∇2ϕ+U(r⃗)ϕ=Eϕ.-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi +U(\vec r)\phi =E\phi.

虽然波函数有时间相位，概率密度

∣ψ∣2=∣ϕ∣2|\psi|^2=|\phi|^2

不随时间变化，所以叫定态。

态叠加

薛定谔方程是线性的。若 ψ1,ψ2\psi_1,\psi_2 都是可能态，则

ψ=c1ψ1+c2ψ2\psi=c_1\psi_1+c_2\psi_2

也是可能态。

若它们是某力学量不同本征值的本征态，测量结果不是简单取“加权平均那一个值”，而是以相应概率得到某个本征值；多次测量的平均才给期望值。

解题流程

  1. 写势能函数和空间区域；
  2. 在各区域列定态薛定谔方程；
  3. 求通解；
  4. 应用有限、连续等边界条件；
  5. 由边界条件筛出允许能量；
  6. 归一化；
  7. 用 ∣ψ∣2|\psi|^2 积分求概率；
  8. 用算符求本征值或期望值。

量子化往往不是额外强加的整数条件，而是波函数满足边界条件后自然只剩下一组允许解。

评论