第 18 讲：物质波与不确定关系

光既表现波动性又表现粒子性，de Broglie 反过来问：电子等实物粒子是否也有与动量相关的波长？

de Broglie 关系

对能量 $E$、动量 $p$ 的粒子：

$$\nu=\frac Eh, \qquad \lambda=\frac hp.$$

非相对论电子经电势差 $U$ 加速：

$$eU=\frac{p^2}{2m_e},$$

所以

$$\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m_eeU}}.$$

加速电压越高，动量越大，波长越短。高速时必须使用相对论修正。

电子衍射

Davisson–Germer 等实验观察到电子被晶体散射后的衍射峰，其波长与 $h/p$ 一致。后来电子显微镜直接利用短物质波长获得高空间分辨率。

物质波不是一团经典连续物质铺开。单个电子逐个通过双缝，屏上每次出现一个局域点；积累许多事件后，点的概率分布形成干涉条纹。

波粒二象性不是“有时变身”

微观对象既不是经典小球，也不是经典机械波。实验装置决定我们能测到哪类互补特征：

• 探测落点，得到粒子式的局域事件；
• 不获得路径信息，统计分布可呈干涉；
• 若路径信息足以区分两条路，相干干涉会消失。

位置—动量不确定关系

让电子通过宽度 $a$ 的单缝，横向位置被限制到

$$\Delta x\sim a.$$

衍射中央区角宽约 $\theta\sim\lambda/a$，于是横向动量不确定度

$$\Delta p_x\sim p\theta \sim\frac h\lambda\frac\lambda a \sim\frac h a.$$

更严格地：

$$\Delta x\,\Delta p_x\ge\frac{\hbar}{2}.$$

缝越窄，位置更确定，但衍射越宽、横向动量更不确定。

它不是仪器“太差”

不确定关系是量子态本身的性质。即使没有技术噪声，一个态也一般不能同时具有任意精确的位置和动量。测量扰动的思想实验能帮助理解，但不能把原理归咎于“观察时碰了一下电子”。

能量—时间关系

课程还给出数量级关系

$$\Delta E\,\Delta t\gtrsim\frac{\hbar}{2}.$$

它常用于说明寿命有限的激发态具有能级宽度。这里的时间通常是态演化或寿命尺度，不是与位置同类的普通算符本征值，解释时要比 $x$-$p$ 关系谨慎。

经典极限

宏观物体也有 de Broglie 波长和不确定关系，但质量、动量巨大，使波长和相对不确定度小到不可观察。量子规律没有在宏观世界“失效”，只是经典近似极其准确。

用不确定关系估算原子稳定性：若把电子压到原子尺度 $\Delta x\sim10^{-10}\,\mathrm m$，就必然有显著 $\Delta p$ 和动能；电子不可能静止塌在原子核上。这给出了稳定原子尺度的定性原因。