第 17 讲：Compton 效应与 Bohr 氢原子

光电效应证明光按能量包交换，Compton 散射进一步证明光子还携带可像粒子碰撞那样记账的动量。

光子的能量与动量

$$E=h\nu=\frac{hc}{\lambda},$$ $$p=\frac Ec=\frac h\lambda.$$

光子静质量为零，但能量和动量都不为零。不能把 $p=mv$ 的经典形式硬套给光子。

Compton 散射

X 射线光子与近似自由、初始静止的电子碰撞。设光子散射角为 $\theta$，由相对论能量和动量守恒可得

$$\lambda'-\lambda =\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta).$$

记电子 Compton 波长

$$\lambda_C=\frac{h}{m_ec}.$$

性质：

• 波长增量只由散射角决定；
• $\theta=0$ 时不变；
• $\theta=\pi$ 时增量最大，为 $2\lambda_C$；
• 光子波长变长，说明它把能量和动量交给了反冲电子。

实验中还可能有不变波长成分，来自光子与束缚紧的内层电子、乃至整个原子发生近似弹性散射；整个原子质量很大，反冲能量很小。

原子光谱的难题

氢原子发射的不是连续颜色，而是离散谱线。经验 Rydberg 公式：

$$\frac1\lambda =R_H\left(\frac1{n_f^2}-\frac1{n_i^2}\right), \qquad n_i>n_f.$$

经典 Rutherford 行星模型中，加速运动的轨道电子应不断辐射、迅速掉入原子核，也无法解释离散频率。

Bohr 三条核心假设

1. 电子只能处于一组定态，在定态上不辐射；
2. 角动量量子化：

$$L=m_ev_nr_n=n\hbar;$$

1. 在定态间跃迁时吸收或发射光子：

$$h\nu=E_i-E_f.$$

对氢原子由 Coulomb 力提供向心力，可得

$$r_n=a_0n^2,$$

其中 $a_0$ 是 Bohr 半径；能级

$$E_n=-\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{n^2}.$$

$E=0$ 对应电子和质子相距无穷远。负能量表示束缚态。

谱线系列

电子从 $n_i$ 跃迁到 $n_f$，光子波长由能级差决定：

$$\frac{hc}{\lambda}=E_{n_i}-E_{n_f}.$$

• $n_f=1$：Lyman 系；
• $n_f=2$：Balmer 系；
• $n_f=3$：Paschen 系。

向低能级跃迁发光，吸收合适能量光子则向高能级跃迁。光子能量必须恰好匹配能级差，不是任意连续值都能被束缚原子吸收。

物质波给量子化一个图像

de Broglie 后来把 Bohr 条件解释为电子物质波绕轨道一周形成驻波：

$$2\pi r=n\lambda, \qquad \lambda=\frac hp.$$

代入就得到 $pr=n\hbar$。这个图像比“上帝规定几个轨道”更有物理线索，但完整原子仍需薛定谔方程。

成功与局限

Bohr 模型成功解释了氢原子能级尺度和谱线公式，并把量子概念引入原子结构；但它把经典轨道和量子跃迁拼在一起，难以处理多电子原子、谱线强度、精细结构等。

课程要求的正确态度是：它是经典物理到量子力学的重要过渡，不是现代原子图像的最终答案。