第 16 讲：黑体辐射、Planck 假设与光电效应

早期量子论不是先凭空提出“世界是量子化的”，而是经典物理面对一组实验规律时连续失效，新的假设才被逼出来。

热辐射与黑体

任何温度高于绝对零度的物体都会以电磁波辐射能量。热平衡时，它同时吸收和发射。

理想黑体对所有波长的入射辐射完全吸收：

$$\alpha(\lambda,T)=1.$$

Kirchhoff 定律指出，热平衡时同一波长、同一温度下，物体的辐射本领与吸收本领之比是普适函数。因此黑体既是最佳吸收体，也是最佳辐射体。

有小孔的不透明空腔是良好黑体近似：进入小孔的光多次反射后几乎无法逃出。

两条实验定律

黑体总辐射本领满足 Stefan–Boltzmann 定律：

$$E(T)=\sigma T^4.$$

温度稍升，单位面积总辐射功率会大幅增加。

峰值波长满足 Wien 位移定律：

$$\lambda_mT=b.$$

温度升高，峰值向短波移动。由恒星光谱峰位置可估算表面温度。

紫外灾难

经典 Rayleigh–Jeans 理论在长波区正确，却预言短波能量无限增大。问题来自经典能量均分：它允许无穷多个高频模式各分得平均能量 $k_BT$。

实验并没有出现这种“紫外灾难”。

Planck 能量子

Planck 假设频率为 $\nu$ 的谐振子只能按离散单位交换能量：

$$\varepsilon_n=nh\nu, \qquad n=0,1,2,\ldots$$

能量子为

$$\varepsilon_0=h\nu.$$

由此得到符合全波段实验的 Planck 公式：

$$r_0(\lambda,T)= \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \frac1{\exp\left(\frac{hc}{\lambda k_BT}\right)-1}.$$

低频极限回到 Rayleigh–Jeans，高频因量子能量太昂贵而指数压低。

光电效应的四个事实

光照金属会发射电子。实验显示：

1. 存在截止频率 $\nu_0$，低于它再强的光也打不出电子；
2. 最大初动能随频率增加，与光强无关；
3. 光电子几乎瞬时逸出；
4. 光强增加主要提高单位时间发射的电子数，即饱和电流。

经典波动图像按连续能流供能，难以同时解释这些事实。

Einstein 光子理论

光由能量

$$\varepsilon=h\nu$$

的光子组成。一个电子一次吸收一个光子，能量守恒：

$$h\nu=A+K_{\max},$$

$A$ 是逸出功。

用遏止电压 $U_s$ 测最大动能：

$$K_{\max}=eU_s,$$

所以

$$eU_s=h\nu-A.$$

作 $U_s$-$\nu$ 直线，斜率为 $h/e$，横轴截距给截止频率

$$\nu_0=\frac Ah.$$

光强与频率分工

在单光子光电效应范围内：

• 频率决定单个光子的能量，从而决定能否逸出和 $K_{\max}$；
• 光强决定单位时间到达的光子数，从而主要决定光电流。

若改变光强时同时改变了频谱，必须先排除频率变化，不能机械套用。