第 20 讲：势阱、隧穿、氢原子与电子壳层

薛定谔方程的价值要在具体势能中看。课程先用一维无限深势阱展示边界条件如何产生量子化，再把同样思路推广到氢原子。

一维无限深势阱

令

$$U(x)= \begin{cases} 0,&0<x<a,\\ \infty,&\text{其他}. \end{cases}$$

阱外粒子概率为零，边界条件

$$\psi(0)=\psi(a)=0.$$

允许的归一化波函数

$$\psi_n(x)=\sqrt{\frac2a} \sin\frac{n\pi x}{a}, \qquad n=1,2,\ldots$$

能量

$$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}.$$

几个关键结论：

• 能量离散，且随 $n^2$ 增长；
• 基态 $E_1>0$，不能让粒子在有限区域内同时有精确零动量；
• 第 $n$ 态内部有 $n-1$ 个节点；
• 波函数可正可负，概率密度 $|\psi_n|^2$ 非负；
• 宏观质量或宏观尺度下相邻能级极密，趋近经典连续结果。

区间概率必须积分：

$$P(x_1<x<x_2) =\int_{x_1}^{x_2}|\psi_n(x)|^2\,\mathrm dx.$$

有限势垒与量子隧穿

经典粒子若 $E<U_0$ 无法越过势垒。量子波函数却会在禁阻区指数衰减而非立刻为零，因此有限宽势垒另一侧仍可能有概率。

对宽度 $d$ 的矩形势垒，穿透率的主要指数依赖为

$$T\propto e^{-2\kappa d}, \qquad \kappa=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}.$$

势垒越高、越宽，粒子越重，隧穿越弱。扫描隧道显微镜、$\alpha$ 衰变等都体现这一效应。

隧穿不表示粒子在禁阻区有负动能的经典轨道；它是波函数跨边界连续后的整体解。

氢原子的定态

电子在 Coulomb 势

$$U(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}$$

中运动。球坐标分离变量后，定态由三个空间量子数标记：

主量子数

$$n=1,2,3,\ldots$$

氢原子非相对论能量主要由 $n$ 决定：

$$E_n=-\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{n^2}.$$

角量子数

$$l=0,1,\ldots,n-1.$$

轨道角动量大小

$$L=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar.$$

$l=0,1,2,3$ 分别记作 s、p、d、f 支壳层。

磁量子数

$$m_l=-l,-l+1,\ldots,l.$$

它决定角动量在选定方向上的投影

$$L_z=m_l\hbar.$$

电子不沿确定经典轨道运行。$|\psi_{nlm}|^2$ 给出空间概率密度，常画成电子云；不同量子数产生不同径向节点和角向形状。

电子自旋

电子还有内禀自旋

$$s=\frac12, \qquad m_s=\pm\frac12.$$

自旋不是电子小球真的绕轴自转，而是无经典对应的内禀角动量。Stern–Gerlach 类实验中束流分裂体现了取向量子化。

Pauli 不相容原理

同一原子中不能有两个电子的四个量子数

$$(n,l,m_l,m_s)$$

完全相同。

一个给定 $(n,l,m_l)$ 轨道最多容纳两个自旋相反的电子。因此：

$$N_l=2(2l+1)$$

是一个支壳层最多电子数，

$$N_n=2n^2$$

是主量子数为 $n$ 的壳层最多电子数。

多电子原子的排布

多电子原子中电子间相互作用使能量不再只由 $n$ 决定。课件用“先填低能级”与 Pauli 原理解释壳层排布，并用 $n+0.7l$ 一类经验规则比较支壳层能量顺序。

这类规则是近似排序工具，不是从氢原子能级式直接推出的严格普适定律。真正多电子问题需要考虑屏蔽、交换和更完整的量子计算。

从 Bohr 轨道到电子云

Bohr 模型用少数允许轨道解释谱线；薛定谔理论则给出波函数、能量本征值和概率分布。两者能量公式在氢原子上相符，但物理图像不同：现代量子力学没有电子沿某条已知圆轨道运行的断言。