第 11 讲：波的干涉、驻波与 Doppler 效应

波的叠加遵循线性原理，但只有相位关系稳定时，空间中才会形成稳定的强弱分布。

相干条件

两列波形成稳定干涉通常要求：

• 频率相同；
• 振动方向相同或有共同分量；
• 相位差恒定；
• 振幅不要悬殊到看不出明暗变化。

若两列简谐波在观察点的相位差为 $\Delta\varphi$：

$$A^2=A_1^2+A_2^2 +2A_1A_2\cos\Delta\varphi.$$

波强满足

$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi.$$

相长条件 $\Delta\varphi=2k\pi$；相消条件 $\Delta\varphi=(2k+1)\pi$。

路程差怎样进入相位差

若两源初相差为 $\Delta\varphi_0$，传播到观察点的路程分别为 $r_1,r_2$：

$$\Delta\varphi =\Delta\varphi_0-\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1).$$

只写“路程差为整数波长相长”默认了两源同相。若初相反相，条件正好交换。

驻波

两列同频、等幅、反向传播的波叠加：

$$y_1=A\cos(\omega t-kx), \qquad y_2=A\cos(\omega t+kx),$$

得到

$$y=2A\cos kx\cos\omega t.$$

空间因子 $2A|\cos kx|$ 决定各点振幅：

• 波节：$\cos kx=0$，始终不动；
• 波腹：$|\cos kx|=1$，振幅 $2A$；
• 相邻波节间距 $\lambda/2$；
• 波节到相邻波腹间距 $\lambda/4$。

驻波没有像行波那样的平均净能流；能量在相邻波节之间来回交换。

反射端的相位

• 固定端反射发生相位突变 $\pi$，端点是位移波节；
• 自由端反射不发生位移相位反转，端点是位移波腹。

弦、气柱的本征频率由边界条件决定。两端固定弦长 $L$：

$$L=n\frac{\lambda_n}{2}, \qquad \nu_n=\frac{n u}{2L}.$$

一端闭、一端开的气柱只允许奇数阶：

$$L=(2n-1)\frac{\lambda_n}{4}.$$

机械波 Doppler 效应

波速 $u$ 相对介质定义。观察者和声源运动的作用不同：

• 观察者运动改变单位时间遇到的波峰数；
• 声源运动改变前方或后方的波长。

沿连线运动时，可统一写成

$$\nu'=\nu\frac{u+v_o}{u-v_s},$$

其中约定 $v_o$ 朝向声源为正，$v_s$ 朝向观察者为正。与其死背符号，不如判断：双方接近时接收频率应升高，远离时应降低。

声源超声速时，前方波面堆叠形成 Mach 锥。Mach 数

$$M=\frac{v_s}{u},$$

锥角满足

$$\sin\theta=\frac1M.$$

光的 Doppler 效应

光不需要介质，严格处理要用相对论 Doppler 公式。课件在机械波后作概念对比：低速下可用频移判断天体或光源靠近、远离，但不能把“相对空气的声速公式”直接套到光上。

常见错误

• 用路径差时忘记源的初相差；
• 把波节当成“没有能量”的点；
• 驻波仍用 $I\propto A^2u$ 计算净传播；
• Doppler 题不先判断靠近或远离；
• 混淆观察者运动和声源运动对分子介质中波长的影响。