第 10 讲：机械波、波函数与能量传播

机械振动是一个局部系统随时间变化，机械波是振动状态在介质中的传播。介质质点只在平衡位置附近振动，传播出去的是相位和能量，不是一群质点整体跟着波跑。

行波相位传播与驻波节点

横波与纵波

流体内部不能长期承受剪切应力，所以通常只能传播纵向机械波；固体可传播纵波和横波。

若原点振动为

y(0,t)=A\cos(\omega t+\varphi_0),

波以速度 $u$ 向 $+x$ 传播。位置 $x$ 处看到的是原点在 $t-x/u$ 时刻的状态：

y(x,t)=A\cos\left[\omega\left(t-\frac xu\right)+\varphi_0\right].

利用

k=\frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega=2\pi\nu, \qquad u=\lambda\nu=\frac{\omega}{k},

可写成

y=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0).

向 $-x$ 传播时空间项改为 $+kx$ 。不要死背正负号：对固定相位 $\omega t-kx=\text{常量}$ 求导，得到 $\mathrm dx/\mathrm dt=\omega/k>0$ ，就是右行。

两点相距 $\Delta x$ 的相位差：

\Delta\varphi=-k\Delta x

针对右行波在同一时刻成立。若还给了初相、传播方向或不同观察时刻，必须从完整相位相减。

一维无耗散线性介质中的波满足

\frac{\partial^2y}{\partial x^2} =\frac1{u^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}.

任意形状的 $f(x-ut)$ 都是右行解， $g(x+ut)$ 都是左行解；简谐波只是其中最方便分析的一类。

以弦上简谐横波为例，每段质元既有振动动能，也因弦弯曲而有弹性势能。对行进简谐波，两者的瞬时密度相等，并随相位共同变化。

平均能量密度正比于

\bar w\propto \rho A^2\omega^2.

单位面积、单位时间传过的平均能量叫平均能流密度（波强）：

I=\bar w\,u.

因此在线性介质、其他条件相同时

I\propto A^2.

振幅加倍，波强变为四倍。

无耗散点源向外辐射时，总功率穿过面积 $4\pi r^2$ 的球面：

I\propto\frac1{r^2}, \qquad A\propto\frac1r.

若介质还有吸收，波强会额外指数衰减。几何扩散与材料吸收是两个不同机制，题目要分开。