第 9 讲：振动合成、阻尼、受迫与共振

真实振动很少是一个孤立的理想弹簧。课程接着讨论多个简谐量怎样合成、能量怎样因阻尼衰减，以及周期外力怎样建立稳定响应。

同方向、同频率振动合成

$$x_1=A_1\cos(\omega t+\varphi_1), \qquad x_2=A_2\cos(\omega t+\varphi_2).$$

相量相加后仍为同频简谐振动：

$$x=A\cos(\omega t+\varphi),$$ $$A^2=A_1^2+A_2^2 +2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1).$$

相位差为 0 时振幅相加；为 $\pi$ 时相减。若两振幅相等且反相，可完全抵消。

不同频率与拍

两个振幅相同、频率很接近的振动相加：

$$x=2A\cos\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t \cos\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t.$$

快速振动被一个缓慢变化的包络调制。响度或强度极大重复的拍频为

$$\nu_{\mathrm{beat}}=|\nu_1-\nu_2|.$$

不要把包络余弦自身的正负周期与听到的强度峰间隔混淆。

垂直方向合成与 Lissajous 图

$$x=A_x\cos(\omega_xt+\varphi_x), \qquad y=A_y\cos(\omega_yt+\varphi_y).$$

• 同频时消去 $t$ 得椭圆；相位差特殊时退化为直线或圆；
• 频率比为简单有理数时形成闭合 Lissajous 图；
• 频率比可由图形在两个方向的切触或瓣数判断。

阻尼振动

线性黏性阻力 $-b\dot x$ 给出

$$m\ddot x+b\dot x+kx=0.$$

记

$$\beta=\frac{b}{2m}, \qquad \omega_0=\sqrt{\frac km}.$$

欠阻尼 $\beta<\omega_0$

$$x=A_0e^{-\beta t} \cos(\omega_dt+\varphi),$$ $$\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}.$$

仍然振荡，但振幅指数衰减，机械能大致按 $e^{-2\beta t}$ 衰减。

临界阻尼 $\beta=\omega_0$

系统不振荡，并以不发生超调的最快方式回到平衡。

过阻尼 $\beta>\omega_0$

也不振荡，但返回比临界阻尼更慢。

受迫振动

周期外力 $F_0\cos\omega t$ 下：

$$m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos\omega t.$$

完整响应包含：

• 与初始条件有关、会因阻尼消失的暂态；
• 与驱动力同频、长期保留的稳态。

稳态振幅

$$A(\omega)= \frac{F_0/m} {\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}}.$$

相位滞后满足

$$\tan\delta= \frac{2\beta\omega}{\omega_0^2-\omega^2}.$$

低频时位移近似跟随外力；跨过共振区后相位逐渐接近反相。

共振

驱动频率接近系统固有频率时，稳态振幅或平均吸收功率出现峰值。阻尼越小，峰越高、越窄；阻尼同时阻止理想模型中的振幅无限增长。

“位移振幅最大”和“吸收功率最大”的频率在有阻尼时不完全相同。题目若问共振条件，要先看它采用哪一定义。

物理直觉

• 合成研究多个振动之间的相位关系；
• 阻尼描述能量向环境耗散；
• 受迫振动描述外界持续供能；
• 共振是供能节奏与系统响应匹配的结果。

桥梁、机械、声学和电路里都会出现相同的二阶方程，所以这套分析不只属于弹簧。