第 8 讲：简谐振动与能量

振动是系统在稳定平衡位置附近的往复运动。大量弱扰动下的系统都能近似为简谐振动，因为势能在稳定平衡点附近的最低阶非平凡项通常是二次项。

动力学定义

若恢复力与位移成反比且方向相反：

$$F=-kx,$$

Newton 第二定律给出

$$m\ddot x+kx=0,$$

即

$$\ddot x+\omega_0^2x=0, \qquad \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.$$

通解

$$x(t)=A\cos(\omega_0t+\varphi).$$

$A$ 是振幅，$\omega_0$ 是固有角频率，$\varphi$ 是初相位。

$$T=\frac{2\pi}{\omega_0}, \qquad \nu=\frac1T.$$

速度、加速度与相位

$$v=-A\omega_0\sin(\omega_0t+\varphi),$$ $$a=-A\omega_0^2\cos(\omega_0t+\varphi) =-\omega_0^2x.$$

加速度始终指向平衡位置。速度相对位移超前 $\pi/2$，加速度与位移反相。

由初始条件求振幅和相位

若 $t=0$ 时 $x=x_0,v=v_0$：

$$x_0=A\cos\varphi, \qquad v_0=-A\omega_0\sin\varphi.$$

因此

$$A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2}.$$

相位要结合 $\cos\varphi$ 和 $\sin\varphi$ 的符号判断象限，不能只用普通 $\arctan$ 丢掉象限信息。

旋转矢量

长度为 $A$ 的矢量以角速度 $\omega_0$ 匀速旋转，其在横轴上的投影就是 $x=A\cos(\omega_0t+\varphi)$。

这个图景能直接看出：

• 相位是矢量转过的角；
• 同频振动合成可转成矢量相加；
• 微分、积分只改变振幅比例和相位，仍是同频简谐量。

能量

弹簧振子的势能和动能：

$$U=\frac12kx^2 =\frac12kA^2\cos^2(\omega_0t+\varphi),$$ $$K=\frac12mv^2 =\frac12kA^2\sin^2(\omega_0t+\varphi).$$

总能量

$$E=K+U=\frac12kA^2$$

保持不变。能量在动能与势能之间以 $2\omega_0$ 的角频率交换。

在平衡位置 $x=0$，速度最大、势能最小；在端点 $|x|=A$，速度为零、势能最大。

小角近似

单摆满足

$$\ddot\theta+\frac g\ell\sin\theta=0.$$

只有在 $|\theta|\ll1$ 时用 $\sin\theta\approx\theta$，才得到

$$T\approx2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}.$$

所以“单摆周期与振幅无关”是小振幅近似下的结论。

怎样识别简谐运动

• 最可靠：运动方程能化成 $\ddot x+\omega_0^2x=0$；
• 等价判据：加速度与位移成正比、方向相反；
• 只看轨迹来回或波形“像正弦”不够。

遇到复杂系统，可先在稳定平衡点附近展开恢复力，保留线性项，往往就得到有效弹簧常量和固有频率。