第 6 讲：循环、卡诺热机与制冷机

热机并不是经历一次膨胀就结束，而是让工作物质反复回到初态。一个循环结束后状态量回到原值：

$$\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0.$$

因此第一定律变成

$$Q_{\mathrm{net}}=W_{\mathrm{net}}.$$

正循环和逆循环

• $p$-$V$ 图上顺时针：膨胀阶段的面积大于压缩阶段，$W_{\mathrm{net}}>0$，是热机；
• 逆时针：外界对系统做净功，用于把热量从低温端搬到高温端，是制冷机或热泵。

循环净功等于闭合曲线围成的有向面积。每一段的热量则需分别由第一定律计算。

热机效率

设热机从高温热源吸热 $Q_H>0$，向低温热源放热的绝对值为 $Q_C>0$：

$$W=Q_H-Q_C.$$

效率

$$\eta=\frac{W}{Q_H} =1-\frac{Q_C}{Q_H}.$$

效率不可能达到 1，因为循环热机不可能把从单一热源吸收的热量全部转化为功。

卡诺循环

可逆卡诺循环由四段组成：

1. 在 $T_H$ 等温膨胀并吸热；
2. 绝热膨胀，从 $T_H$ 降到 $T_C$；
3. 在 $T_C$ 等温压缩并放热；
4. 绝热压缩，从 $T_C$ 回到 $T_H$。

对可逆循环：

$$\frac{Q_H}{T_H}=\frac{Q_C}{T_C}.$$

于是卡诺效率

$$\eta_C=1-\frac{T_C}{T_H}.$$

温度必须用 K。把摄氏温度直接代入，会破坏比例关系。

卡诺定理说了什么

• 在相同高、低温热源之间，一切可逆热机效率相同；
• 任何不可逆热机效率都不可能超过可逆卡诺热机；
• 极限只由 $T_H,T_C$ 决定，与工作物质无关。

提高效率只能增大热源温差，但工程上会受到材料耐温、散热、不可逆损耗和安全性的限制。

制冷机与热泵

逆循环消耗功 $W$，从低温物体吸热 $Q_C$，向高温环境放热

$$Q_H=Q_C+W.$$

制冷系数

$$\varepsilon_{\mathrm R}=\frac{Q_C}{W}.$$

可逆卡诺制冷机：

$$\varepsilon_{\mathrm R,C} =\frac{T_C}{T_H-T_C}.$$

热泵关心送入高温端的热量：

$$\varepsilon_{\mathrm{HP}}=\frac{Q_H}{W} =\varepsilon_{\mathrm R}+1.$$

性能系数大于 1 不违反能量守恒，因为输出热量不仅来自输入功，还包括从低温端搬来的热。

循环题怎样做

1. 按箭头把循环拆成若干段；
2. 每段列 $\Delta U_i,W_i,Q_i$；
3. 检查 $\sum_i\Delta U_i=0$；
4. $p$-$V$ 面积核对 $\sum_iW_i$ 的正负；
5. 区分放热代数量 $Q<0$ 与放热绝对值 $Q_C>0$；
6. 再代效率或制冷系数。

最常见错误是把“某段吸热”直接等同于“该段做功”，只有理想气体等温过程才有 $\Delta U=0$。