第 5 讲：热力学第一定律与理想气体过程

热力学第一定律是能量守恒在热过程中的记账规则。难点不在公式本身，而在于先约定谁对谁做功、哪些量依赖状态、哪些量依赖路径。

状态量与过程量

• 内能 $U$ 是状态量，$\Delta U$ 只由初末态决定；
• 热量 $Q$ 和功 $W$ 是过程量，同一初末态沿不同路径可取不同值；
• 对理想气体，内能只依赖温度。

本课程采用“系统吸热为正、系统对外做功为正”的约定：

$$Q=\Delta U+W.$$

若教材把“外界对系统做功”记为正，公式会写成 $\Delta U=Q+W_{\mathrm{on}}$。两种约定都能用，但不能在同一道题中混换。

准静态体积功

系统经历一串无限接近平衡态的准静态过程时，边界压强有定义：

$$\delta W=p\,\mathrm dV, \qquad W=\int_{V_1}^{V_2}p\,\mathrm dV.$$

在 $p$-$V$ 图上，过程曲线下面的有向面积就是功。膨胀时 $\mathrm dV>0$，系统对外做正功；压缩相反。

这里用 $\delta W$ 而不写 $\mathrm dW$，是为了提醒功不是状态函数的全微分。

理想气体内能和热容

若分子有 $i$ 个有效二次自由度：

$$U=\frac i2\nu RT, \qquad \Delta U=\nu C_V\Delta T,$$

并有 Mayer 关系

$$C_p-C_V=R, \qquad \gamma=\frac{C_p}{C_V}.$$

四个基本过程

等体过程

$$W=0, \qquad Q=\Delta U=\nu C_V\Delta T.$$

容器刚性并不等于温度不变；它只保证体积功为零。

等压过程

$$W=p(V_2-V_1)=\nu R\Delta T,$$ $$Q=\nu C_p\Delta T.$$

吸收的热量一部分增加内能，一部分用于膨胀做功。

等温过程

理想气体 $T$ 不变，所以 $\Delta U=0$：

$$W=Q=\nu RT\ln\frac{V_2}{V_1}.$$

等温膨胀能持续做功，是因为外界同时给系统补充了等量热量。

可逆绝热过程

$$Q=0,$$

由第一定律和理想气体状态方程可得 Poisson 关系：

$$pV^\gamma=\text{常量},$$ $$TV^{\gamma-1}=\text{常量}, \qquad T^\gamma p^{1-\gamma}=\text{常量}.$$

功可写成

$$W=-\Delta U =\nu C_V(T_1-T_2) =\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}.$$

“绝热”只表示不传热，不表示温度不变。绝热膨胀做功来自内能，所以温度下降。

多方过程

课件把

$$pV^n=\text{常量}$$

作为统一形式：

• $n=0$：等压；
• $n=1$：等温；
• $n=\gamma$：可逆绝热；
• $n\to\infty$：等体的极限表示。

对 $n\ne1$，

$$W=\frac{p_2V_2-p_1V_1}{1-n}.$$

多方指数由具体传热和过程条件决定，不能看到“压强变、体积变”就默认绝热。

一道过程题的标准顺序

1. 画初末态和路径；
2. 写符号约定；
3. 用状态方程补齐 $p,V,T$；
4. 由路径条件算 $W$；
5. 由温差算 $\Delta U$；
6. 最后用 $Q=\Delta U+W$；
7. 用物理方向检查正负号。

先算热量再猜功，通常比这条顺序更容易乱。