第 2 讲：气体动理论、压强与温度

理想气体压强并不是某个分子持续“顶住”器壁，而是无数分子碰撞带来的平均动量通量。

理想气体的微观模型

课件采用两组假设：

单个分子的力学假设

• 分子线度相对容器很小，可近似为质点；
• 除短暂碰撞外，分子间相互作用可忽略；
• 分子和器壁的碰撞近似完全弹性；
• 分子在两次碰撞之间做匀速直线运动。

平衡态的统计假设

• 分子在容器各处出现的概率相同；
• 速度方向各向同性；
• 因而

$$\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2} =\overline{v_z^2}=\frac13\overline{v^2}.$$

从一次碰壁到压强

考虑质量为 $m$ 的分子以速度分量 $v_x$ 撞到垂直于 $x$ 轴的器壁。弹性反射后 $v_x\to-v_x$，器壁得到的冲量为

$$\Delta p_x=2mv_x.$$

把一个分子在时间内撞墙的次数、所有分子的贡献和器壁面积合起来，得到

$$p=\frac13nm\overline{v^2},$$

或

$$pV=\frac23N\overline{\varepsilon_k},$$

其中

$$\overline{\varepsilon_k}=\frac12m\overline{v^2}.$$

压强因此是大量碰撞的统计平均。少数分子的瞬时碰撞会剧烈波动，只有粒子很多、观察时间足够长时才表现为稳定宏观量。

温度的微观解释

把动理论公式与理想气体状态方程 $pV=Nk_BT$ 比较：

$$\frac23N\overline{\varepsilon_k}=Nk_BT,$$

所以

$$\overline{\varepsilon_k}=\frac32k_BT.$$

温度量度的是平衡态下分子的平均平动动能，而不是某个分子的速度。两个系统温度相同，只意味着每个分子的平均平动能相同；若分子质量不同，特征速率并不相同。

方均根速率

由

$$\frac12m\overline{v^2}=\frac32k_BT$$

得到

$$v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}} =\sqrt{\frac{3k_BT}{m}} =\sqrt{\frac{3RT}{M}},$$

其中 $M$ 为摩尔质量。

结论很直观：

• 同一种气体，$v_{\mathrm{rms}}\propto\sqrt T$；
• 同一温度，轻分子比重分子运动快；
• 温度加倍，速率不会加倍，只乘 $\sqrt2$。

为什么推导时能忽略分子互撞

分子之间的弹性碰撞会重新分配速度方向和大小，但对整个气体的总动量、总能量不造成净损失。压强的长期平均由到达器壁的动量通量决定；平衡态下碰撞保证各向同性，反而是统计模型成立的重要机制。

这不等于任何时候都可以忽略碰撞。平均自由程、黏性、扩散和热传导恰恰都由分子碰撞决定。

三个容易混的量

• $\overline v$：速率的算术平均；
• $\sqrt{\overline{v^2}}$：方均根速率；
• $\overline{\vec v}$：速度矢量平均，平衡气体中为零。

分子热运动很快，但各方向等概率，所以宏观静止气体的平均速度为零；这和平均速率不为零并不矛盾。