第 12 讲：曲线积分、Green 公式与势函数

曲线积分是在一条弯曲路径上累加。这里有两类本质不同的积分：第一类按弧长累加，不关心方向；第二类沿位移做功，反向会变号。

第一类：对弧长的曲线积分

设曲线 $L$ 上的线密度为 $f(x,y,z)$ ，总质量为

\int_L f\,ds.

若参数化

\mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t)),\qquad a\le t\le b,

则弧长微元

ds=\|\mathbf r'(t)\|dt =\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\,dt,

从而

\int_L f\,ds =\int_a^b f(\mathbf r(t))\|\mathbf r'(t)\|dt.

因为有模，反向参数化不会改变结果。对显式平面曲线 $y=y(x)$ ，

ds=\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,dx.

平面向量场 $\mathbf F=(P,Q)$ 沿有向曲线 $L:A\to B$ 做功为

\int_LP\,dx+Q\,dy =\int_L\mathbf F\cdot d\mathbf r.

参数化后

\int_a^b \bigl[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\bigr]dt.

三维时再加 $R\,dz$ 。反向后 $d\mathbf r$ 变号，因此积分整体变号。

两类积分可以通过单位切向量联系：

d\mathbf r=\mathbf T\,ds,\qquad \int_L\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_L\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds.

设 $D$ 是平面区域，正向边界 $\partial D$ 规定为沿边界行走时区域始终在左侧。若 $P,Q$ 有连续偏导，则

\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy =\iint_D\left( \frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dA.

它把闭曲线积分换成区域上的二重积分，或反过来。使用前检查：

选择 $P=-y/2,Q=x/2$ 可得

A=\frac12\oint_{\partial D}(x\,dy-y\,dx).

也可选 $P=0,Q=x$ 得 $A=\oint x\,dy$ ，或选 $P=-y,Q=0$ 得 $A=-\oint y\,dx$ ，前提是方向正确。

若 $P,Q$ 在区域内某点无定义，不能直接把整个区域套 Green 公式。常见处理是挖掉奇点附近的小圆盘，对穿孔区域应用 Green，再单独计算小圆周积分并取极限。

若从任意 $A$ 到 $B$ 的积分只依赖端点，不依赖路径，就称积分路径无关。等价地，任意闭曲线上的积分为零。

$区域 D 内从 A 到 B 的两条不同路径 L1 和 L2$

若存在函数 $U(x,y)$ 使

dU=U_x\,dx+U_y\,dy=P\,dx+Q\,dy,

即 $\nabla U=(P,Q)$ ，则 $\mathbf F$ 是保守场， $U$ 是势函数，并有

\int_A^B P\,dx+Q\,dy=U(B)-U(A).

在单连通区域内、 $P,Q$ 一阶偏导连续时，

P_y=Q_x

是存在势函数的充要条件。单连通不能随便删：有洞区域里，一个无旋场仍可能绕洞产生非零环流。

由 $U_x=P$ 对 $x$ 积分：

U(x,y)=\int P(x,y)\,dx+C(y).

再对 $y$ 求偏导，与 $Q$ 比较以确定 $C'(y)$ 。最后加任意常数。

也可以固定基点 $(x_0,y_0)$ ，沿折线路径定义

U(x,y)= \int_{x_0}^{x}P(s,y_0)\,ds +\int_{y_0}^{y}Q(x,t)\,dt.