2008-2009 学年春真题

这是 2009 年 6 月 19 日的《基础物理学（1）》A 卷。卷面标明试题共 6 页、满分 100 分；当前源文件同时保存了试卷和官方参考答案。题面按原卷转写，图形和密集公式保留题内局部裁图，答案均来自随卷参考答案。

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）

1. 变速圆周运动的加速度

质点作半径为 $R$ 的变速圆周运动，$v$ 表示任一时刻的速率。判断加速度大小的正确表达式。

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官方答案：D，即

$$a=\sqrt{\left(\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\right)^2+ \left(\frac{v^2}{R}\right)^2}.$$

2. 机枪的平均反冲力

机枪每分钟射出质量为 $20\ \mathrm g$ 的子弹 900 颗，子弹速率为 $800\ \mathrm{m/s}$。射击时的平均反冲力大小为：

• A. $0.267\ \mathrm N$
• B. $16\ \mathrm N$
• C. $240\ \mathrm N$
• D. $14400\ \mathrm N$

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官方答案：C。

3. 弹性力作功

劲度系数为 $k$、原长为 $l_0$ 的轻弹簧竖直悬挂。下端挂托盘平衡时长度为 $l_1$，再在托盘中放一重物后长度为 $l_2$。弹簧由 $l_1$ 伸长到 $l_2$ 时，弹性力作功为：

• A. $-\displaystyle\int_{l_1}^{l_2}kx\,\mathrm dx$
• B. $\displaystyle\int_{l_1}^{l_2}kx\,\mathrm dx$
• C. $-\displaystyle\int_{l_1}^{l_2}k(x-l_0)\,\mathrm dx$
• D. $\displaystyle\int_{l_1}^{l_2}k(x-l_0)\,\mathrm dx$

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官方答案：C。

4. 两质点系统的守恒律

两个质点之间只有万有引力，且系统所受外力矢量和为零。判断系统动量和机械能是否守恒。

• A. 动量与机械能一定都守恒
• B. 动量与机械能一定都不守恒
• C. 动量不一定守恒，机械能一定守恒
• D. 动量一定守恒，机械能不一定守恒

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官方答案：D。

5. 沿负方向传播的波

平面简谐波沿 $x$ 轴负方向传播，坐标原点 O 的振动规律和 B 点位置如图。选择 B 点的振动方程。

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官方答案：D。

6. 两个共轴带电圆柱面

两个无限长共轴圆柱面半径分别为 $R_1,R_2$，沿轴线单位长度所带电荷分别为 $\lambda_1,\lambda_2$。求外圆柱面外、距轴 $r$ 处 P 点的场强大小。

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官方答案：A，即 $E=(\lambda_1+\lambda_2)/(2\pi\varepsilon_0r)$。

7. 带电平面旁的中性导体板

无限大均匀带电平面 A 的面电荷密度为 $+\sigma$，旁边平行放置一块原先中性的无限大厚导体板 B。求导体板表面 1、2 的感生电荷面密度。

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官方答案：B，即 $\sigma_1=-\sigma/2$，$\sigma_2=+\sigma/2$。

8. 安培环路积分与环外电流

图 (a)、(b) 中的圆形回路 $L_1,L_2$ 半径相同，所包围的电流 $I_1,I_2$ 分布相同；图 (b) 的回路外另有 $I_3$。P1、P2 是回路上的对应点。比较两回路的 $\oint\vec B\cdot\mathrm d\vec l$ 与两点磁场大小。

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官方答案：C。两环路包围电流相同，环路积分相等；但环外电流会影响局部磁场，所以 $B_{P1}\ne B_{P2}$。

9. 相互垂直的两金属环

两个半径为 $R$ 的相同金属环在直径端点 a、b 接触，并相互垂直。电流 $I$ 从 a 流入、从 b 流出，求中心 O 的磁感强度大小。

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官方答案：A，即 $B=0$。

10. 涡旋电场中两根金属棒

圆柱形区域内存在均匀磁场，$B$ 以速率 $\mathrm dB/\mathrm dt$ 变化。长度为 $l_0$ 的金属棒先后放在位置 1（ab）和位置 2（a′b′），比较两种位置中棒内感应电动势的大小。

• A. $\mathcal E_2=\mathcal E_1\ne0$
• B. $\mathcal E_2>\mathcal E_1$
• C. $\mathcal E_2<\mathcal E_1$
• D. $\mathcal E_2=\mathcal E_1=0$

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官方答案：B。

二、填空题（每题 3 分，共 30 分）

1. 周期外力下的直线运动

质量为 $m$ 的质点沿 $x$ 轴运动，受到 $F=F_0\cos\omega t$（SI）的力。$t=0$ 时 $x=x_0$、$v=0$，写出 $x(t)$。

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官方答案：

$$x=\frac{F_0}{m\omega^2}(1-\cos\omega t)+x_0.$$

2. 收缩转动半径

质量相等的钢球 A、B 以 $\omega_0=4\ \mathrm{rad/s}$ 绕竖直轴转动，初始半径 $r_1=15\ \mathrm{cm}$。下移轴上环 C，使半径缩为 $r_2=5\ \mathrm{cm}$，求新的角速度。

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官方答案：$36\ \mathrm{rad/s}$。

3. 变力作功

质量 $m=1\ \mathrm{kg}$ 的物体从原点静止出发沿 $x$ 轴运动，合力 $F=3+2x$（SI）。求前 $3\ \mathrm m$ 内合力作功，以及 $x=3\ \mathrm m$ 时的速率。

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官方答案：$W=18\ \mathrm J$，$v=6\ \mathrm{m/s}$。

4. 匀质细杆下摆

匀质细杆 AB 长 $l$、质量 $m$，A 端接光滑固定水平轴。细杆从水平位置静止释放，下摆 $\theta$ 时求角速度；已知 $I_A=ml^2/3$。

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官方答案：$\omega=\sqrt{3g\sin\theta/l}$。

5. 三质点的质心

按图中三质点的质量和坐标，求质心坐标 $x_c,y_c$。

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官方答案：$x_c=0.13\ \mathrm m$，$y_c=0.05\ \mathrm m$。

6. 带电球壳的最高电势

空气击穿场强为 $30\ \mathrm{kV/cm}$。空气中一带电球壳直径为 $1\ \mathrm m$，以无穷远为电势零点，求球壳可达到的最高电势。

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官方答案：$1.5\times10^6\ \mathrm V$。

7. 断开电源后充入介质

平行板电容器充电后断开电源，再在板间充满相对介电常量为 $\varepsilon_r$ 的介质。场强和电场能量分别变为原来的多少倍？

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官方答案：均为 $1/\varepsilon_r$ 倍。

8. 三类磁介质的 B-H 曲线

虚线为 $B=\mu_0H$，判断曲线 a、b、c 分别属于哪类磁介质。

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官方答案：a 为铁磁质，b 为顺磁质，c 为抗磁质。

9. 两根同向电流长直导线

真空中两根长直导线相距 $2a$，电流均为 $I$ 且同向。O、P 的位置如图，求两点磁场能量密度 $w_{mO},w_{mP}$。

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官方答案：

$$w_{mO}=0, \qquad w_{mP}=\frac{2\mu_0I^2}{9\pi^2a^2}.$$

10. 位移电流与电容量

平行板电容器两极板电压变化率为 $1.0\times10^6\ \mathrm{V/s}$，板间位移电流为 $1.0\ \mathrm A$。求电容量。

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官方答案：$1\ \mu\mathrm F$。

三、计算题（每题 10 分，共 40 分）

1. 质子的库仑散射

质子经过质量很大的电荷为 $Ze$ 的原子核附近，原子核可视为静止。质子远离原子核时速度为 $v_0$，其渐近直线到原子核的垂直距离为 $b$。忽略引力，求质子到原子核的最近距离 $r_s$。

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官方答案联立角动量和机械能守恒，得到

$$r_s=\frac{KZe^2}{mv_0^2}+ \sqrt{\left(\frac{KZe^2}{mv_0^2}\right)^2+b^2}.$$

2. 有转动惯量的滑轮与弹簧

半径为 $R$、转动惯量为 $J$ 的定滑轮上绕有轻绳，一端挂质量 $m$，另一端连劲度系数为 $k$ 的固定轻弹簧。绳与滑轮无滑动，忽略摩擦和空气阻力。从平衡位置把物体下拉一小段后放手，证明其作简谐振动并求角频率。

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官方答案给出

$$a=-\frac{kx}{m+J/R^2}, \qquad \omega=\sqrt{\frac{kR^2}{J+mR^2}}.$$

3. 非均匀带电球体

半径为 $R$ 的球体电荷体密度为

$$\rho=\frac{qr}{\pi R^4}\quad(r\leqslant R), \qquad \rho=0\quad(r>R),$$

其中 $q>0$。求球体总电荷，以及球内外各点的场强。

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官方答案：总电荷为 $q$，场强沿径向向外，且

$$E(r)= \begin{cases} \dfrac{qr^2}{4\pi\varepsilon_0R^4},&r\leqslant R,\\[6pt] \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2},&r>R. \end{cases}$$

4. 两反向电流旁的运动金属杆

两根相互平行的无限长直导线载有大小相等、方向相反的电流。长度为 $b$ 的金属杆 CD 与两导线共面且垂直，并以速度 $v$ 平行于导线运动；相对位置如图。求 CD 杆中的感应电动势，并判断哪端电势较高。

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官方答案：

$$\mathcal E=\frac{\mu_0Iv}{2\pi} \ln\frac{2(a+b)}{2a+b},$$

方向为 C 到 D，D 端电势较高。