2009-2010 学年春真题

这是 2010 年 7 月 2 日的《基础物理学（1）》A 卷。卷面标明试题共 6 页、满分 100 分；源目录同时保存了试卷和官方参考答案。以下按原卷转写，图形保留题内局部裁图，答案均来自随卷参考答案。

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）

1. 曲线运动的加速度

对于沿曲线运动的物体，哪一种说法正确？

• A. 切向加速度必不为零
• B. 法向加速度必不为零（拐点处除外）
• C. 速度沿切线方向，所以法向加速度必为零
• D. 物体作匀速率运动时，总加速度必为零
• E. 加速度为恒矢量时，物体一定作匀变速率运动

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官方答案：B。

2. 两人沿同一根绳向上爬

体重、身高相同的甲、乙分别握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子两端，从同一高度、由静止向上爬。甲相对绳子的速率是乙的两倍，判断到达顶点的先后。

• A. 甲先到达
• B. 乙先到达
• C. 同时到达
• D. 无法确定

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官方答案：C。

3. 曲线运动中的合外力作功

质量为 $10\ \mathrm{kg}$ 的质点速度为 $\vec v=4t^2\vec i+16\vec k$（SI）。从 $t=1\ \mathrm s$ 到 $t=2\ \mathrm s$，合外力作功为：

• A. $40\ \mathrm J$
• B. $80\ \mathrm J$
• C. $960\ \mathrm J$
• D. $1200\ \mathrm J$

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官方答案：D。

4. 刚体上一点的速度

刚体以每分钟 60 转绕 $z$ 轴匀速转动，$\vec\omega$ 沿 $+z$。某时刻点 P 的位置矢量为 $\vec r=3\vec i+4\vec j+5\vec k$，长度单位为 $10^{-2}\ \mathrm m$。若速度单位取 $10^{-2}\ \mathrm{m/s}$，则 P 点速度为：

• A. $94.2\vec i+125.6\vec j+157.0\vec k$
• B. $-25.1\vec i+18.8\vec j$
• C. $-25.1\vec i-18.8\vec j$
• D. $31.4\vec k$

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官方答案：B。

5. 运动声源的多普勒效应

声波在媒质中的传播速度为 $u$，声源频率为 $\nu_s$。接收器 R 不动，声源 S 以速度 $v_s$ 沿二者连线向 R 运动。接收器收到的频率为：

• A. $\nu_s$
• B. $\dfrac{u+v_s}{u}\nu_s$
• C. $\dfrac{u}{u+v_s}\nu_s$
• D. $\dfrac{u}{u-v_s}\nu_s$

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官方答案：D。

6. 点电荷旁的接地金属球

半径为 $R$ 的金属球接地；电荷 $q$ 位于距球心 $d=2R$ 处。地的电势为零，求球上总感生电荷 $q'$。

• A. $0$
• B. $q/2$
• C. $-q/2$
• D. $-q$

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官方答案：C。

7. 断开电源后充入介质

空气平行板电容器充电后与电源断开，再在板间充满均匀各向同性介质。比较充入介质前后的场强 $E$、电容 $C$、电压 $U$ 和电场能量 $W$。

• A. $E\uparrow,C\uparrow,U\uparrow,W\uparrow$
• B. $E\downarrow,C\uparrow,U\downarrow,W\downarrow$
• C. $E\downarrow,C\uparrow,U\uparrow,W\downarrow$
• D. $E\uparrow,C\downarrow,U\downarrow,W\uparrow$

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官方答案：B。

8. 两种接线的正方形线圈

边长为 $l$ 的正方形线圈按图中两种方式通以电流 $I$，其中 ab、cd 与正方形共面。比较两种接法在线圈中心产生的磁场大小 $B_1,B_2$。

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官方答案：C，即 $B_1=2\sqrt2\mu_0I/(\pi l)$，$B_2=0$。

9. 长直导线旁的三角形线圈

无限长直载流导线与正三角形载流线圈共面，电流方向如图。长直导线固定，判断三角形线圈的运动趋势。

• A. 向长直导线平移
• B. 离开长直导线平移
• C. 转动
• D. 不动

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官方答案：A。

10. 充电电容器旁的安培环路

平板电容器充电时，比较图中环路 $L_1,L_2$ 上磁场强度的环流。

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官方答案：C，即 $\oint_{L_1}\vec H\cdot\mathrm d\vec l<\oint_{L_2}\vec H\cdot\mathrm d\vec l$。

二、填空题（每题 3 分，共 30 分）

1. 由加速度求速度

质点沿 $x$ 轴运动，$a=2+6x^2$（SI），且在原点速度为零。求任意位置的速度 $v(x)$。

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官方答案：$v=2\sqrt{x+x^3}$。

2. 动量的矢量变化

质量为 $m$ 的物体原以速率 $v$ 向北，受外力打击后以相同速率向西。求冲量大小和方向。

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官方答案：大小 $\sqrt2mv$，方向指向正西南或南偏西 $45^\circ$。

3. 合外力为零时的守恒量

若力学系统所受合外力为零，合外力矩是否一定为零？动量、角动量、机械能中，哪一个量一定守恒？

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官方答案：合外力矩不一定为零；动量一定守恒。

4. 离散与连续系统的质心

写出由 $n$ 个质点组成的系统和质量连续分布物体的质心位置矢量。

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官方答案：

$$\vec r_c=\frac{\sum_i m_i\vec r_i}{\sum_i m_i}, \qquad \vec r_c=\frac{\int_V\vec r\rho\,\mathrm dV}{\int_V\rho\,\mathrm dV}.$$

5. 平面波与反射波

波长为 $\lambda$ 的平面简谐波沿 $x$ 轴正方向传播，$x=\lambda/2$ 处质元的振动为 $y=A\cos\omega t$。先写出入射波；再在 $x=L$ 处放置从波疏媒质到波密媒质的反射面，设反射波振幅为 $A'$，写出 $x\leqslant L$ 的反射波。

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官方答案：

$$y=A\cos\left(\omega t+\pi-\frac{2\pi x}{\lambda}\right),$$ $$y'=A'\cos\left(\omega t-\frac{4\pi L}{\lambda}+ \frac{2\pi x}{\lambda}\right).$$

6. 两个无限大带电平面

真空中两个无限大均匀带电平面 A、B，板间场强大小为 $E_0$，两板外侧场强大小均为 $E_0/3$，方向如图。求面电荷密度 $\sigma_A,\sigma_B$。

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官方答案：$\sigma_A=-2\varepsilon_0E_0/3$，$\sigma_B=4\varepsilon_0E_0/3$。

7. 闭合曲面的电通量

点电荷 $q_1,q_2,q_3,q_4$ 与闭合曲面 S 的相对位置如图。求总电场通过 S 的通量，并说明式中总场由哪些电荷共同产生。

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官方答案：通量为 $(q_2+q_4)/\varepsilon_0$；曲面上的 $\vec E$ 是四个电荷 $q_1,q_2,q_3,q_4$ 所产生场强的矢量和。

8. 半边充介质的平行板电容器

平行板电容器充电后，一半空间充入均匀各向同性介质。比较图中 I、II 两部分的场强、电位移以及对应极板上的自由电荷面密度。

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官方答案：场强相等，电位移不相等，自由电荷面密度不相等。

9. 电子从方形磁场区的不同缺口射出

正方形磁场区边长为 $d$，a、b、c 三角有小缺口。一束速度不同的电子从 a 沿 ad 射入；若分别有电子从 b、c 射出，求 $v_b/v_c$。

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官方答案：$v_b/v_c=1/2$。

10. 载流磁介质圆柱

半径为 $R_1$、磁导率为 $\mu_1$ 的无限长均匀磁介质圆柱内均匀通过电流 $I$；外面半径为 $R_2$ 的同轴圆柱面通过反向电流 $I$，二者之间磁导率为 $\mu_2$。求 $0<r<R_1$ 内的磁场强度大小。

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官方答案：$H=Ir/(2\pi R_1^2)$。

三、计算题（每题 10 分，共 40 分）

1. 转动圆盘在摩擦下停止

半径为 $R$ 的圆形平板平放在水平桌面上，摩擦系数为 $\mu$。平板以角速度 $\omega_0$ 绕过中心的竖直固定轴开始旋转。已知 $J=mR^2/2$，求停止前转过的圈数。

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官方答案对各环带摩擦力矩积分，得到总摩擦力矩 $M=2\mu mgR/3$，进而

$$n=\frac{3R\omega_0^2}{16\pi\mu g}.$$

2. 子弹嵌入木块后的振动

质量为 $M$ 的木块连接劲度系数为 $k$ 的轻弹簧，在光滑水平面上静止于 O。质量为 $m$ 的子弹以速度 $v_0$ 射入并嵌在木块中。以嵌入时为 $t=0$，按图取 $x$ 轴，写出系统的振动方程。

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官方答案为

$$x=\frac{mv_0}{\sqrt{k(M+m)}} \cos\left(\sqrt{\frac{k}{M+m}}t+\frac{\pi}{2}\right).$$

3. 无限大带电平面的电势

无限大均匀带电平面的面电荷密度为 $\sigma$。以平面处为电势零点，求平面周围的电势分布。

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设平面为 $x=0$，官方答案为

$$U(x)= \begin{cases} \dfrac{\sigma x}{2\varepsilon_0},&x<0,\\[6pt] -\dfrac{\sigma x}{2\varepsilon_0},&x\geqslant0, \end{cases}$$

也就是 $U=-\sigma|x|/(2\varepsilon_0)$。

4. 局限磁场产生的涡旋电场

均匀磁场被限制在半径为 $R$ 的无限长圆柱区域内，方向垂直纸面向里，外部无磁场。$B$ 随时间均匀变化，变化率大小为常数 $k>0$。一根长 $2R$ 的细棒一半在磁场内、一半在外，位置如图。求棒两端感应电动势的大小和方向。

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官方答案将棒分成场内 AC 与场外 CD 两段，得到

$$\mathcal E_{AD}=\frac{3\sqrt3+\pi}{12}kR^2,$$

方向为 A 到 D。