2010-2011 学年春真题

这是 2011 年 6 月 29 日的《基础物理学（1）》A 卷。卷面标明试题共 6 页、满分 100 分；源目录同时保存了试卷和官方参考答案。题面按原卷转写，答案均来自随卷参考答案。

一、选择题（每题 2 分，共 30 分）

1. 描述质点的运动状态

• A. 位置矢量、速度和加速度
• B. 位置矢量和速度
• C. 速度和动量
• D. 位置矢量、动能和势能

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官方答案：B。

2. 惯性力的来源

惯性力与物体惯性质量成正比，它的引入源于：

• A. 非惯性系相对惯性系的速度
• B. 运动的相对性原理
• C. 非惯性系相对惯性系的加速度
• D. 相对论效应

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官方答案：C。

3. 冲量的含义

• A. 力对时间的累积效应
• B. 动量对时间的累积效应
• C. 力对空间的累积效应
• D. 动量对空间的累积效应

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官方答案：A。

4. 功的含义

• A. 位移对时间的累积效应
• B. 力对时间的累积效应
• C. 位移对空间的累积效应
• D. 力对空间的累积效应

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官方答案：D。

5. 角动量定理

相对于惯性系中的固定参考点，角动量的时间变化率等于：

• A. 力矩
• B. 角冲量
• C. 力矩的积分
• D. 力对空间的累积效应

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官方答案：A。

6. 人沿气球绳梯上爬

气球和绳梯总质量为 $M$，梯上人的质量为 $m$，起初均相对地面静止。人相对绳梯以速度 $v$ 向上爬，求气球速度（向上为正）。

• A. $-mv/(m+M)$
• B. $-Mv/(m+M)$
• C. $-mv/M$
• D. $-(m+M)v/m$
• E. $-(m+M)v/M$

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官方答案：A。

7. 同速运动的声源和接收器

声源 S 和接收器 R 都沿 $+x$ 方向以速度 $v$ 相对媒质运动，声速为 $u$，声源频率为 $\nu_S$。求接收频率 $\nu_R$。

• A. $\dfrac{u+v}{u-v}\nu_S$
• B. $\dfrac{u-v}{u+v}\nu_S$
• C. $\dfrac{u+v}{u}\nu_S$
• D. $\dfrac{u-v}{u}\nu_S$
• E. $\nu_S$

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官方答案：E。

8. 曲线运动中的外力功

质量 $m=0.5\ \mathrm{kg}$ 的质点满足 $x=5t$、$y=0.5t^2$（SI）。从 $t=2\ \mathrm s$ 到 $t=4\ \mathrm s$，外力作功为：

• A. $1.5\ \mathrm J$
• B. $3\ \mathrm J$
• C. $4.5\ \mathrm J$
• D. $-1.5\ \mathrm J$

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官方答案：B。

9. 刚体上一点的速度

刚体以每分钟 60 转绕 $+z$ 轴匀速转动。某时刻 $\vec r=-3\vec i+4\vec j+5\vec k$，位置单位为 $10^{-2}\ \mathrm m$；速度单位取 $10^{-2}\ \mathrm{m/s}$。P 点速度为：

• A. $94.2\vec i+125.6\vec j+157.0\vec k$
• B. $-25.1\vec i+18.8\vec j$
• C. $-25.1\vec i-18.8\vec j$
• D. $31.4\vec k$

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官方答案：C。

10. 由电场求电势

定义 $U_P-U_Q=\int_P^Q\vec E\cdot\mathrm d\vec l$，并以 Q 为零电势点。判断 $U_P$ 的正确积分表达式。

• A. $\int_Q^P\vec E\cdot\mathrm d\vec l$
• B. $\int_Q^P\vec E\times\mathrm d\vec l$
• C. $\int_P^Q\vec E\cdot\mathrm d\vec l$
• D. $\int_P^Q\vec E\times\mathrm d\vec l$

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官方答案：C。

11. 点电荷对接地金属球的作用

原来不带电的接地金属球由弹簧悬挂，在它下方放一点电荷 $q$。判断金属球是否下移。

• A. 仅 $q>0$ 时下移
• B. 仅 $q<0$ 时下移
• C. 无论正负都下移
• D. 无论正负都不动

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官方答案：C。

12. 平行板间插入介质板

把与极板面积相同的均匀各向同性介质板平行插入空气平行板电容器。判断电容的变化及其是否依赖介质板在两板间的位置。

• A. 电容减小，与位置无关
• B. 电容减小，与位置有关
• C. 电容增大，与位置无关
• D. 电容增大，与位置有关

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官方答案：C。

13. 磁场强度的安培环路定理

$\oint_L\vec H\cdot\mathrm d\vec l=\sum I$ 中的 $\sum I$：

• A. 不包含磁化电流
• B. 不包含传导电流
• C. 不包含稳恒电流
• D. 不包含时变电流

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官方答案：A。

14. 长直导线与正方形框

电流由长直导线 1 经 a 流入电阻均匀的正方形框，再从 c 经导线 2 流出。$\vec B_1,\vec B_2,\vec B_3$ 分别表示导线 1、2 和方框在中心 O 产生的磁场。判断 O 点合磁场。

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官方答案：B。$\vec B_1+\vec B_2=0$，且 $B_3=0$，故 $B=0$。

15. 位移电流的组成

麦克斯韦理论中引入的位移电流包括：

• A. 传导电流和极化电流
• B. 磁化电流和极化电流
• C. 变化电场和磁化电流
• D. 变化电场和极化电流

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官方答案：D。

二、填空题（每题 3 分，共 30 分）

1. 参数方程对应的轨道

$x=a\cos\omega t$、$y=b\sin\omega t$。写出轨道方程并判断运动方向。

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官方答案：$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，逆时针。

2. 小球撞墙

质量为 $m$ 的小球以速率 $v$ 自南向北撞墙，以相同速率弹回。求小球的动量变化；再求小球给墙的冲量大小和方向。

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官方答案：若向北为正，小球动量变化为 $-2mv$；给墙的冲量大小为 $2mv$，方向向北。

3. 合力为零与刚体转速

若作用于有光滑固定轴刚体的几个力矢量和为零，刚体转速是否一定改变？

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官方答案：不一定。

4. 质心运动定律

质心的运动就像物体的什么量集中于此点、所有什么量也集中作用于此点的质点运动？

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官方答案：质量；外力。

5. 沿负方向传播的平面波

波沿 $x$ 轴负方向传播，$x=-1\ \mathrm m$ 处质元的振动方程为 $y=A\cos(\omega t+\phi)$，波速为 $u$。写出波函数。

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官方答案：

$$y=A\cos\left\{\omega\left[t+\frac{1+x}{u}\right]+\phi\right\}.$$

6. 两同号无限大带电平面

真空中两个无限大平行平面 A、B 的面电荷密度均为 $\sigma$。按图中 $x$ 轴取向，写出 I、II、III 区域的场强。

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官方答案：$E_I=-\sigma/\varepsilon_0$，$E_{II}=0$，$E_{III}=\sigma/\varepsilon_0$。

7. 单个场与总场的高斯通量

点电荷 $q_1,q_2$ 分别产生 $\vec E_1,\vec E_2$，总场 $\vec E=\vec E_1+\vec E_2$。闭合面 S 包围两个电荷，分别求 $\oint_S\vec E_1\cdot\mathrm d\vec S$ 和 $\oint_S\vec E\cdot\mathrm d\vec S$。

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官方答案：$q_1/\varepsilon_0$；$(q_1+q_2)/\varepsilon_0$。

8. 充油前后的电容器能量

空气电容器充电后储能为 $W_0$。分别求断开电源后灌入相对介电常量为 $\varepsilon_r$ 的煤油、以及始终接电源时灌油后的能量倍数。

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官方答案：断开电源时为 $1/\varepsilon_r$ 倍；接电源时为 $\varepsilon_r$ 倍。

9. 带电粒子在磁场中的力与半径

两个粒子以相同速度垂直进入匀强磁场，质量比 $1:4$，电荷比 $1:2$。求磁场力比和轨道半径比。

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官方答案：均为 $1:2$。

10. 磁介质层中的磁感应强度

半径 $R_1$ 的无限长圆柱形直导线外包相对磁导率为 $\mu_r$、外半径为 $R_2$ 的磁介质。导线内均匀通过电流 $I$，求 $R_1<r<R_2$ 的 $B$。

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官方答案：$B=\mu_0\mu_rI/(2\pi r)$。

三、计算题（每题 10 分，共 40 分）

1. 复合钟摆的转动惯量

钟摆绕 O 轴转动，上部为长 $l$、质量 $m$ 的细杆；下部为半径 $R$、质量 $M$ 的圆盘。求钟摆对 O 轴的转动惯量。

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官方答案：

$$I_O=\frac13ml^2+\frac12MR^2+M(R+l)^2.$$

2. U 形管中的液体振动

截面积为 $S$ 的光滑 U 形管中装有密度 $\rho$、总质量 $m$ 的液体。扰动后两端液面高度差为 $h$，并从此刻计时。求液体运动方程。

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以平衡位置为 $y=0$，官方答案为

$$y=\frac h2\cos\left(\sqrt{\frac{2\rho Sg}{m}}\,t\right).$$

3. 均匀带电圆盘轴线上的场

已知半径为 $r$、电荷为 $q$ 的均匀带电圆环在轴线上距离圆心 $z$ 处的电势。求半径为 $R$、面电荷密度为 $\sigma$ 的圆盘在轴线上的电势和场强分布。

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取 $z\geqslant0$，官方答案为

$$U(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left(\sqrt{R^2+z^2}-z\right),$$ $$E_z=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right).$$

4. 长直导线与 N 匝矩形回路

磁导率为 $\mu$ 的介质中，无限长直导线通有 $I=I_0\sin\omega t$。旁边放置共面的 N 匝矩形回路，长边为 $l$，近边距导线 $d$，宽为 $a$。求回路感应电动势。

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官方答案：

$$\mathcal E=-\frac{N\mu lI_0\omega}{2\pi} \ln\frac{d+a}{d}\cos\omega t.$$