2011-2012 学年春真题（年份据源文件名）

源文件名为 11-12.pdf，内含一份完整 B 卷，卷面标明试题共 5 页、满分 100 分，但扫描件没有课程名称、学年或考试日期封面。因此本页的“2011-2012 学年”仅据源文件名，不把它冒充为卷面已确认的信息。源目录没有这份卷子的官方答案，以下只保留题目。

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）

1. 非线性弹簧的最大压缩量

特殊轻弹簧满足 $F=kx^3$。弹簧水平放在光滑面上，一端固定，另一端连接质量 $m$ 的滑块，初始处于自然长度。沿弹簧方向给滑块一个冲量，使其获得速度 $v$ 并压缩弹簧。最大压缩量为：

• A. $\sqrt{m/k}\,v$
• B. $\sqrt{k/m}\,v$
• C. $(4mv/k)^{1/4}$
• D. $(2mv^2/k)^{1/4}$

2. 圆锥摆的重力冲量

圆锥摆摆球质量为 $m$、速率为 $v$、圆半径为 $R$。摆球沿轨道运动半周时，所受重力冲量大小为：

• A. $2mv$
• B. $\sqrt{(2mv)^2+(mg\pi R/v)^2}$
• C. $\pi Rmg/v$
• D. $0$

3. 波形图对应的旋转矢量

平面简谐波沿 $x$ 轴正方向传播，$t=0$ 时波形如图。选择 P 点质元在 $t=0$ 时的旋转矢量图。

4. 非均匀细圆环的转动惯量

半径相同、质量相等的细圆环 A、B 中，A 的质量分布均匀，B 的质量分布不均匀。比较二者对通过环心且垂直环面的轴的转动惯量 $J_A,J_B$。

• A. $J_A>J_B$
• B. $J_A<J_B$
• C. $J_A=J_B$
• D. 不能确定

5. 椭圆轨道远近地点的角动量和动能

人造地球卫星到地心 O 的最大、最小距离分别为 $R_A,R_B$，对应角动量为 $L_A,L_B$，动能为 $E_{KA},E_{KB}$。判断正确关系。

• A. $L_B>L_A, E_{KA}>E_{KB}$
• B. $L_B>L_A, E_{KA}=E_{KB}$
• C. $L_B=L_A, E_{KA}=E_{KB}$
• D. $L_B<L_A, E_{KA}=E_{KB}$
• E. $L_B=L_A, E_{KA}<E_{KB}$

6. 非对称电介质与高斯定理

在点电荷 $q$ 的静电场中放置一块电介质，以点电荷为球心作球形闭合面 S。判断高斯定理是否成立，以及能否用它求球面各点场强。

• A. 成立，且能求球面各点场强
• B. 成立，但不能求球面各点场强
• C. 电介质不对称，所以不成立
• D. 即使电介质对称分布也不成立

7. 场强定义

判断下列说法：

• A. 某点场强方向就是任意点电荷在该点受力方向
• B. 以点电荷为中心的球面上，该电荷产生的场强处处相同
• C. $\vec E=\vec F/q$ 中试验电荷 $q$ 可正可负
• D. 以上都不正确

8. 线圈进出匀强磁场

矩形线圈以匀速从无场区平移进入匀强磁场，再平移穿出。取逆时针为电流正方向，忽略自感，选择正确的 $I-t$ 曲线。

9. 带电粒子从半平面磁场返回边界

电荷 $+q$、质量 $m$ 的质点以速度 $v$ 沿 $+x$ 轴从原点射入 $x\geqslant0$ 的匀强磁场，磁场垂直纸面向里。粒子以速度 $-v$ 从边界 $x=0$ 的另一点离开，求该点的 $y$ 坐标。

• A. $+mv/(qB)$
• B. $+2mv/(qB)$
• C. $-2mv/(qB)$
• D. $-mv/(qB)$

10. 空心圆柱导体的磁场分布

无限长载流空心圆柱导体内、外半径分别为 $a,b$，电流在导体截面均匀分布。选择 $B$ 随距轴线距离 $r$ 变化的正确图像。

二、填空题（每题 3 分，共 30 分）

1. 随圆盘一起转动的物体

水平圆盘以恒定角速度 $\omega$ 转动。距盘心 $R$ 处放质量 $m$ 的物体，物体与圆盘摩擦系数为 $\mu$，且恰能随盘一起转动而无相对运动。以圆盘为参考系，写出物体的牛顿定律。

2. 两球系统的质心位置

质量为 $12\ \mathrm{kg}$ 与 $20\ \mathrm{kg}$ 的两球相距 $4\ \mathrm m$，初始静止且未连接。沿球心连线对 $20\ \mathrm{kg}$ 球施加 $64\ \mathrm N$ 恒力。忽略万有引力，求第三秒末质心位置。

3. 齿尖的速度和加速度

齿轮上一齿尖 P 沿半径为 $R$ 的圆周运动，路程随时间满足 $S=v_0t+bt^2/2$，其中 $v_0,b>0$。求 $t$ 时刻速度大小和加速度大小。

4. 运动接收器的多普勒效应

静止报警器频率为 $1000\ \mathrm{Hz}$。汽车以 $79.2\ \mathrm{km/h}$ 分别驶向和背离报警器，车内人听到的频率各是多少？空气中声速为 $340\ \mathrm{m/s}$。

5. 套管沿转动细杆滑动

质量 $m$、长度 $l$ 的均匀细杆水平放置，杆上套着可视为质点、质量也为 $m$ 的套管 B。系统以角速度 $\omega_0$ 绕竖直固定轴 OO′ 转动，套管初距轴 $l/2$；细线断后套管沿杆滑动。已知杆对轴转动惯量为 $ml^2/3$，写出 $\omega$ 与套管距轴 $x$ 的关系，并说明物理意义。

6. 静电场的环路定理

写出静电场环路定理的数学表达式、物理意义，并指出静电场属于哪类场。

7. 平均自感电动势

线圈自感系数 $L=0.05\ \mathrm{mH}$，初始电流 $I=0.8\ \mathrm A$。切断后经过 $100\ \mu\mathrm s$ 电流近似降为零，求平均自感电动势。

8. 充电电容器中的场方向

圆形平行板电容器从 $q=0$ 开始充电。画出充电过程中，极板间 P 点的电场强度和磁场强度方向。

9. 吹胀带电肥皂泡

均匀带电 $+Q$ 的球形肥皂泡由半径 $r_1$ 吹胀到 $r_2$。对满足 $r_1<R<r_2$ 的球面，写出吹胀前后场强 $E$ 和电势 $U$ 的变化；无穷远为电势零点。

10. 大线圈中心的小线圈

半径为 $r$ 的小绝缘线环位于半径为 $R$ 的大导线环中心，二者共面且 $r\ll R$。大环中电流为 $I=I_0\sin\omega t$，逆时针为正；小环感应电动势也取逆时针为正。写出 $\mathcal E(t)$。

三、计算题（每题 10 分，共 40 分）

1. 速度正比阻力下的子弹

质量为 $m$ 的子弹以速度 $v_0$ 水平射入沙土，阻力与速度反向且大小与速度成正比，比例系数为 $K$，忽略重力。求：

1. 速度随时间变化的函数；
2. 子弹进入沙土的最大深度。

2. 每次过平衡点滴入油滴的振子

劲度系数为 $k$ 的弹簧一端固定，另一端连质量为 $M$ 的容器，容器可在光滑水平面运动。弹簧自然长时容器位于 O，现从 O 左侧 $l_0$ 处静止释放。容器每经过 O 一次，就从上方滴入质量为 $m$ 的油滴。求：

1. 滴入 $n$ 滴后，容器到 O 的最远距离；
2. 滴入第 $n+1$ 滴与第 $n$ 滴的时间间隔。

3. 两个导体球相连后的电荷分配

半径分别为 $1.0\ \mathrm{cm}$ 与 $2.0\ \mathrm{cm}$ 的两个球形导体各带 $1.0\times10^{-8}\ \mathrm C$，相距很远。用细导线连接后，求每个球的电荷与电势。取 $1/(4\pi\varepsilon_0)=9\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$。

4. 两根反向电流导线在 x 轴上的场

两根平行长直导线穿过 $y$ 轴并垂直于 $x-y$ 平面，电流均为 $I$、方向相反，距 $x$ 轴均为 $a$。求：

1. $x$ 轴上 P 点的 $\vec B(x)$；
2. P 在何处时 $B$ 最大。