2012-2013 学年春真题（年份据源文件名）

源文件名为 12-13.pdf，内含一份完整 B 卷，卷面标明试题共 6 页、满分 100 分，但扫描件没有课程名称、学年或考试日期封面。因此本页的“2012-2013 学年”仅据源文件名，不把它冒充为卷面已确认的信息。源目录没有这份卷子的官方答案，以下只保留题目。

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）

1. 砂子落到运动传送带上

砂子从 $h=0.8\ \mathrm m$ 高处落到以 $3\ \mathrm{m/s}$ 水平向右运动的传送带上，取 $g=10\ \mathrm{m/s^2}$。传送带对刚落到带上的砂子的作用力方向为：

• A. 与水平夹角 $53^\circ$ 向下
• B. 与水平夹角 $53^\circ$ 向上
• C. 与水平夹角 $37^\circ$ 向上
• D. 与水平夹角 $37^\circ$ 向下

2. 波动中介质质元的能量

平面简谐波在弹性介质中传播。介质质元从最大位移回到平衡位置的过程中：

• A. 势能转换成动能
• B. 动能转换成势能
• C. 从相邻一段质元获得能量，自身能量逐渐增加
• D. 把自身能量传给相邻一段质元，自身能量逐渐减小

3. 细杆受到端部冲量后的运动

均匀细杆静止在光滑水平面上，在一端受到垂直杆身的水平打击。此后：

• A. 杆沿打击方向平动
• B. 杆绕受打击端点转动
• C. 质心沿打击方向运动，同时绕质心转动
• D. 质心不动，只绕质心转动

4. 加速升降机中的绳张力

系统位于以 $a=g/2$ 加速上升的升降机内，A、B 质量均为 $m$。桌面水平，绳和定滑轮质量不计，忽略摩擦和空气阻力。绳张力为：

• A. $mg$
• B. $mg/2$
• C. $2mg$
• D. $3mg/4$

5. 两小球与细杆的非弹性碰撞

长 $2L$、质量 $m$ 的匀质细杆可绕中点 O 的竖直轴转动，$I=mL^2/3$。两个质量均为 $m$ 的小球以相同速率 $v$ 从相反方向正对杆两端运动，同时发生完全非弹性碰撞并粘住。求碰撞后角速度。

• A. $2v/(3L)$
• B. $4v/(5L)$
• C. $6v/(7L)$
• D. $8v/(9L)$

6. 真空中静电场公式辨析

判断下列哪一公式表述正确：

• A. 点电荷场写为 $\vec E=q/(4\pi\varepsilon_0r^2)$
• B. 无限长线电荷场写为 $\vec E=\lambda\vec e_r/(2\pi\varepsilon_0r^2)$
• C. 无限大带电平面场写为 $\vec E=\sigma/(2\varepsilon_0)$
• D. 面密度为 $\sigma$、半径为 $R$ 的球面外场写为 $\vec E=\sigma R^2\vec e_r/(\varepsilon_0r^2)$

7. 均匀带电球面外的电势

半径为 $R$ 的均匀带电球面，电荷面密度为 $\sigma$，无穷远为零电势点。求距球心 $r>R$ 处的电势。

• A. $0$
• B. $\sigma R/\varepsilon_0$
• C. $\sigma R^2/(\varepsilon_0r)$
• D. $\sigma R^2/(4\varepsilon_0r)$

8. 感应电场的环流

$\oint_L\vec E_k\cdot\mathrm d\vec l=-\mathrm d\Phi/\mathrm dt$ 表明：

• A. 闭合曲线 L 上 $E_k$ 处处相等
• B. 感应电场是保守力场
• C. 感应电场的场强线不是闭合曲线
• D. 感应电场中不能像静电场那样引入电势概念

9. 恒定电流磁场中的 H

关于恒定电流磁场的磁场强度 $\vec H$，判断正确说法：

• A. $\vec H$ 仅与传导电流有关
• B. 闭合曲线内没有包围传导电流时，曲线上各点 $\vec H$ 必为零
• C. 闭合曲线上各点 $\vec H$ 均为零时，所包围传导电流代数和为零
• D. 以同一闭合曲线为边缘的任意曲面，其 $\vec H$ 通量均相等

10. 两个并联线圈的磁场能量

线圈 P、Q 并联接恒定电动势电源。P 的自感和电阻分别是 Q 的两倍，互感忽略。稳态后，P 与 Q 的磁场能量之比为：

• A. $4$
• B. $2$
• C. $1$
• D. $1/2$

二、填空题（每题 3 分，共 30 分）

1. 竖直发射火箭的动量方程

火箭从地面竖直发射，忽略空气阻力，重力加速度 $g$ 恒定，喷气相对火箭速率为 $u$。取竖直向上为正，写出火箭和燃料系统在喷气过程中的竖直动量定理投影式。

2. 速度与位置成正比的运动

质量为 $M$ 的质点沿 $+x$ 运动，通过位置 $x$ 时速率为 $kx$，$k>0$。求该位置所受力 $F$，以及从 $x_0$ 到 $x_1$ 的时间 $\Delta t$。

3. 斜抛轨迹的切向加速度和曲率半径

斜抛物体在 A 点速度大小为 $v$，方向与水平夹角 $30^\circ$。求该点切向加速度 $a_t$ 和曲率半径 $\rho$。

4. 沿正方向传播的简谐波

平面简谐波沿 $+x$ 无衰减传播，振幅 $2\times10^{-3}\ \mathrm m$，周期 $0.01\ \mathrm s$，波速 $400\ \mathrm{m/s}$。$t=0$ 时原点质元正过平衡位置并沿 $+y$ 运动，写出波函数。

5. 两种初始条件的简谐运动

质点沿 $x$ 轴作简谐运动，中心在原点，周期 $T$、振幅 $A$。分别写出：

1. $t=0$ 时过原点并沿 $+x$ 运动；
2. $t=0$ 时位于 $x=A/2$ 且沿 $-x$ 运动。

6. 恒定制动力矩

转动物体的转动惯量为 $J$，初始角速度 $\omega_0=10\ \mathrm{rad/s}$。施加恒定制动力矩 $M=-0.5\ \mathrm{N\,m}$，$5.0\ \mathrm s$ 后停止，求 $J$。

7. 电势分布与场强分布

若静电场某区域电势为恒量，该区域场强如何分布？若电势随空间坐标线性变化，场强如何分布？

8. 两个正点电荷与高斯球面

两个正点电荷 $Q$ 相距 $2R$。以其中一个电荷所在 O 点为球心、以 $R$ 为半径作高斯球面 S。求通过 S 的通量，并分别写出球面上 a、b 两点场强。

9. 电子所受磁场力

某点 $\vec B=0.40\vec i-0.20\vec j$（SI），电子以 $\vec v=0.50\times10^6\vec i+1.0\times10^6\vec j$（SI）通过，求磁场力。基本电荷 $e=1.6\times10^{-19}\ \mathrm C$。

10. 两根平行长直导线

无限长导线 A、B 电流均为 $I$，垂直纸面向外，相距 $a$。求中点 P 的磁感强度，并求 $\vec B$ 沿图中闭合环路 L 的线积分。

三、计算题（每题 10 分，共 40 分）

1. 椭圆轨道运动的力与功

质量为 $m$ 的质点在 $Oxy$ 平面运动：

$$\vec r=a\cos\omega t\,\vec i+b\sin\omega t\,\vec j, \qquad a>b>0.$$

求：

1. 质点在 A$(a,0)$、B$(0,b)$ 两点的动能；
2. 合外力 $\vec F$，以及从 A 到 B 过程中 $F_x,F_y$ 分别作的功。

2. 同轴圆筒电容器

两同轴圆筒内、外半径为 $a,b$，筒长均为 $L$，中间充满相对介电常量为 $\varepsilon_r$ 的介质。内、外筒分别带 $+Q,-Q$，且 $(b-a)\ll a$、$L\gg b$，忽略边缘效应。求电容和储能。

3. 带电圆环轴线附近的电子

半径为 $R$ 的均匀带电细圆环带电 $q>0$。质量 $m$、电荷 $-e$ 的电子位于轴线上 P 点，$OP=b\ll R$，从静止开始运动。求：

1. 电子作何种运动；
2. 运动表达式；
3. 从 P 到 O 的时间。

4. 随半径和时间变化的圆柱磁场

长圆柱磁场沿轴线、垂直图面向里，大小随距轴线 $r$ 成正比，并随时间正弦变化：$B=B_0r\sin\omega t$。磁场内放半径为 $a$ 的金属圆环，环心在轴线上。求感应电动势并讨论方向。