2007-2008 学年春真题

这是 2008 年 6 月 27 日的《基础物理学（1）》A 卷。卷面标明试题共 6 页、满分 100 分；当前源文件同时保存了试卷和官方参考答案。以下题面按原卷转写，公式或图形较密的地方保留题内局部裁图，答案均来自随卷参考答案。

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）

1. 曲线运动中的运动学量

质点作曲线运动，$\vec r$ 表示位置矢量，$\vec v$ 表示速度，$\vec a$ 表示加速度，$S$ 表示路程，$a_t$ 表示切向加速度。判断卷面所列四个表达式中哪些正确。

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官方答案：D。

2. 撤去拉力后的瞬时加速度

质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的滑块 A、B 由轻弹簧水平连接，置于粗糙水平桌面上，二者与桌面的摩擦系数均为 $\mu$。系统在水平拉力 $F$ 作用下匀速运动；突然撤去拉力，判断刚撤去后 A、B 的加速度 $a_A,a_B$。

• A. $a_A=0, a_B=0$
• B. $a_A>0, a_B<0$
• C. $a_A<0, a_B>0$
• D. $a_A<0, a_B=0$

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官方答案：D。

3. 合外力作功

质量 $m=0.5\ \mathrm{kg}$ 的质点在 $Oxy$ 平面内运动，运动方程为 $x=5t$、$y=0.5t^2$（SI）。从 $t=2\ \mathrm{s}$ 到 $t=4\ \mathrm{s}$，外力对质点作的功为：

• A. $1.5\ \mathrm J$
• B. $3\ \mathrm J$
• C. $4.5\ \mathrm J$
• D. $-1.5\ \mathrm J$

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官方答案：B。

4. 缓慢拉绳时的守恒量

小物体位于光滑水平桌面上，与穿过桌面中心小孔 O 的绳相连。物体原以角速度 $\omega$ 在半径为 $R$ 的圆周上运动，现从孔下缓慢拉绳。判断物体的动能、动量和对 O 点角动量的变化。

• A. 动能不变，动量改变
• B. 动量不变，动能改变
• C. 角动量不变，动量不变
• D. 角动量改变，动量改变
• E. 角动量不变，动能、动量都改变

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官方答案：E。

5. 两弹簧连接物体的振动频率

质量为 $m$ 的物体由劲度系数为 $k_1,k_2$ 的两个轻弹簧连接，在光滑水平导轨上作微小振动。求系统的振动频率。

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官方答案：B，即 $\nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k_1+k_2}{m}}$。

6. 非对称电荷分布与高斯定理

均匀带电球体 A 带电 $+q$，球体 B 带电 $-q$。以 A 为球心作球面 S，判断通过 S 的电通量以及能否由高斯定理直接求出 S 面各点场强。

• A. 通量为零，S 面上场强处处为零
• B. 通量为 $q/\varepsilon_0$，且可按球对称直接求场强
• C. 通量为 $-q/\varepsilon_0$，且可按球对称直接求场强
• D. 通量为 $q/\varepsilon_0$，但不能由高斯定理直接求出 S 面各点场强

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官方答案：D。

7. 同一等势面上的电场力功

点电荷 $-q$ 位于圆心 O，A、B、C、D 是同一圆周上的四点。将试验电荷从 A 分别移动到 B、C、D，比较电场力作功。

• A. A 到 B 作功最大
• B. A 到 C 作功最大
• C. A 到 D 作功最大
• D. 从 A 到三点，电场力作功相等

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官方答案：D。

8. 外磁场中的玻尔轨道

按玻尔氢原子模型，电子在半径为 $r$ 的圆轨道上绕质子运动。将原子置于均匀外磁场中，电子轨道平面与 $\vec B$ 垂直；在 $r$ 不变时，判断电子轨道运动角速度的变化。

• A. 增加
• B. 减小
• C. 不变
• D. 改变方向

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官方答案：A。

9. 四根长直导线在正方形中心的磁场

四根垂直纸面的长直导线位于边长为 $2a$ 的正方形四角，每根电流均为 $I$，方向如图。求中心 O 的磁感强度大小。

• A. $2\mu_0I/(\pi a)$
• B. $2\mu_0I/(2\pi a)$
• C. $0$
• D. $\mu_0I/(\pi a)$

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官方答案：C。

10. 顺磁物质的磁导率

顺磁物质的磁导率：

• A. 比真空磁导率略小
• B. 比真空磁导率略大
• C. 远小于真空磁导率
• D. 远大于真空磁导率

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官方答案：B。

二、填空题（每题 3 分，共 30 分）

1. 圆周运动

质点沿半径为 $R$ 的圆周运动，运动学方程为 $\theta=3+2t^2$（SI）。求 $t$ 时刻的法向加速度大小 $a_n$ 和角加速度 $\beta$。

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官方答案：$a_n=16Rt^2$，$\beta=4\ \mathrm{rad/s^2}$。

2. 弯管所受冲力

流水以速度 $\vec v_1$ 进入弯管、以 $\vec v_2$ 流出，且 $v_1=v_2=v$。每秒流入的水质量为 $q$，忽略管内水的重力，求水对管壁平均冲力的大小和方向。

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官方答案：大小为 $qv$，方向竖直向下。

3. 哈雷彗星远日点距离

哈雷彗星在近日点距太阳 $r_1=8.75\times10^{10}\ \mathrm m$，速率 $v_1=5.46\times10^4\ \mathrm{m/s}$；远日点速率 $v_2=9.08\times10^2\ \mathrm{m/s}$。求远日点距离 $r_2$。

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官方答案：$r_2=5.26\times10^{12}\ \mathrm m$。

4. 从波形图读参数

平面简谐波沿 $x$ 轴正方向传播，波速 $u=100\ \mathrm{m/s}$，$t=0$ 时波形如图。求波长 $\lambda$、振幅 $A$ 和频率 $\nu$。

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官方答案：$\lambda=0.8\ \mathrm m$，$A=0.2\ \mathrm m$，$\nu=125\ \mathrm{Hz}$。

5. 固定端反射与驻波

已知固定端 $x=0$ 处的反射波，且反射无能量损失，写出入射波 $y_1$ 以及合成驻波 $y$。

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官方答案给出的入射波为

$$y_1=A\cos\left[2\pi\left(\nu t+\frac{x}{\lambda}\right)+\pi\right],$$

合成驻波为

$$y=2A\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}+\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(2\pi\nu t+\frac{\pi}{2}\right).$$

6. 等势线与场强

等势线满足 $U_1>U_2>U_3$。在图中画出 a、b 两点的场强方向，并比较 $E_a,E_b$。

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官方答案中的方向见图；大小关系为 $E_a>E_b$。

7. 介质中的电位移与场强

平行板电容器中充满相对介电常量为 $\varepsilon_r$ 的均匀各向同性介质。极板自由电荷面密度为 $\sigma$，求介质中的 $D$ 和 $E$。

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官方答案：$D=\sigma$，$E=\sigma/(\varepsilon_0\varepsilon_r)$。

8. 同轴电缆中的磁场

长直电缆由圆柱导体与共轴圆筒导体组成，两导体中有等值反向电流 $I$，其间充满磁导率为 $\mu$ 的均匀磁介质。求距轴 $r$ 处的 $H$ 和 $B$。

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官方答案：$H=I/(2\pi r)$，$B=\mu I/(2\pi r)$。

9. 麦克斯韦方程与物理结论

把下列结论分别对应到积分形式的麦克斯韦方程：①电场高斯定理；②法拉第电磁感应定律；③磁场高斯定理；④安培-麦克斯韦环路定理。

1. 变化的磁场一定伴随电场；
2. 磁感线无头无尾；
3. 电荷总伴随有电场。

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官方答案依次为：②、③、①。

10. 电容器放电时的场方向

充电后的平行板电容器中，A 板带正电、B 板带负电。闭合 K 放电，分别指出两板间电场和位移电流相对于图中 $x$ 轴的方向。

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官方答案：电场沿 $x$ 轴正方向，位移电流沿 $x$ 轴负方向。

三、计算题（每题 10 分，共 40 分）

1. 沙袋落船与线性阻力

质量为 $M$ 的木船起初静止，从岸上以水平速度 $v_0$ 将质量为 $m$ 的沙袋抛到船上，之后二者一起运动。船受阻力与速率成正比，比例系数为 $k$；沙袋与船的作用时间极短。求：

1. 沙袋落船后共同运动的初速；
2. 从开始共同运动到静止所走距离。

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由碰撞阶段水平动量守恒，$V=mv_0/(M+m)$；随后用 $-kv=(M+m)\,\mathrm dv/\mathrm dt$ 消去时间并积分，得 $x=mv_0/k$。

2. 均匀球在斜面上纯滚动

质量为 $m$、半径为 $R$ 的均匀球从倾角为 $\theta$ 的斜面滚下，球与斜面间摩擦系数为 $\mu$。已知 $J_c=2mR^2/5$，求保持只滚不滑时 $\theta$ 的范围。

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官方答案由平动、绕质心转动和 $a_c=R\beta$ 联立，得到所需静摩擦 $f=(2/7)mg\sin\theta$。由 $f\leqslant\mu mg\cos\theta$，得

$$\tan\theta\leqslant3.5\mu, \qquad \theta\leqslant\arctan(3.5\mu).$$

3. 同轴圆筒形真空二极管

圆柱阴极半径 $R_1=5\times10^{-4}\ \mathrm m$，同轴圆筒形阳极半径 $R_2=4.5\times10^{-3}\ \mathrm m$，阳极比阴极电势高 $300\ \mathrm V$。忽略边缘效应，求电子刚从阴极射出时所受电场力；基本电荷 $e=1.6\times10^{-19}\ \mathrm C$。

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官方答案先由圆柱高斯面得 $E=\lambda/(2\pi\varepsilon_0r)$，再由两极电势差消去 $\lambda$。阴极表面电子所受力大小为 $4.37\times10^{-14}\ \mathrm N$，方向沿半径指向阳极。

4. 两长直导线与矩形线框的互感

两条平行长直导线和矩形线框共面，两导线中的同向电流均为 $I=I_0\sin\omega t$。线框长 $a$、宽 $b$，一边与长直导线平行，到两导线的距离分别为 $r_1,r_2$。求线框中的感应电动势。

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官方答案先叠加两导线的磁场并对线框面积积分，再对磁通求时间导数：

$$\mathcal E =-\frac{\mu_0I_0a\omega}{2\pi} \ln\frac{(r_1+b)(r_2+b)}{r_1r_2}\cos\omega t.$$