2006-2007 学年春真题

这是源目录中可确认的「2006-2007 学年第 2 学期《基础物理学（1）》A 卷」，考试日期为 2007 年 7 月 16 日。原卷满分 100 分，选择、填空各 30 分，计算题 40 分。

题面按原卷转写；解析优先依据随卷参考答案，原答案在转换时丢失的公式由课程定律重新推导。

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）

1. 场强的定义

下列几个说法中哪一个正确？

• A. 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向。
• B. 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷产生的场强处处相同。
• C. 场强可由 $\vec E=\vec F/q$ 定出，其中 $q$ 为试验电荷，$q$ 可正、可负，$\vec F$ 为试验电荷所受电场力。
• D. 以上说法都不正确。

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答案：C。 电场方向以正试验电荷受力方向定义，A 漏掉了「正」；B 只能说场强大小相同，矢量方向不同。

2. 均匀带电球面

半径为 $R$ 的均匀带电球面，总电荷为 $Q$。设无穷远处电势为零，则球内距球心为 $r$ 的 $P$ 点处：

• A. $E=0,\quad U=Q/(4\pi\varepsilon_0R)$
• B. $E=0,\quad U=Q/(4\pi\varepsilon_0r)$
• C. $E=Q/(4\pi\varepsilon_0r^2),\quad U=Q/(4\pi\varepsilon_0r)$
• D. $E=Q/(4\pi\varepsilon_0r^2),\quad U=Q/(4\pi\varepsilon_0R)$

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答案：A。 球面内包围电荷为零，由高斯定理得 $E=0$；内部电势处处等于球面电势 $Q/(4\pi\varepsilon_0R)$。

3. 高斯定理的含义

根据 $\displaystyle\oint_S\vec E\cdot\mathrm d\vec S=\sum q/\varepsilon_0$，下列说法正确的是：

• A. 闭合面内电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零。
• B. 闭合面内电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零。
• C. 闭合面内电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零。
• D. 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷。

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答案：C。 高斯定理约束的是「总通量」，不是闭合面上每一点的场强。

4. 带电导体球内的场强

选无穷远处为电势零点，半径为 $R$ 的导体球带电后，电势为 $U_0$。球内离球心 $r$ 处的场强大小为：

• A. $0$
• B. $U_0/r$
• C. $RU_0/r^2$
• D. $U_0/R$

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答案：A。 静电平衡时导体内部 $\vec E=0$。

5. 介质中导体表面的自由电荷

一导体球外充满相对介电常量为 $\varepsilon_r$ 的均匀电介质。若测得导体表面附近场强为 $E$，则导体球面上的自由电荷面密度 $\sigma$ 为：

• A. $\varepsilon_0E$
• B. $\varepsilon_0\varepsilon_rE$
• C. $\varepsilon_rE$
• D. $(\varepsilon_0\varepsilon_r-\varepsilon_0)E$

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答案：B。 导体表面 $D_n=\sigma_f$，而 $D=\varepsilon_0\varepsilon_rE$。

6. 三角形导线框中心的磁场

边长为 $l$ 的正三角形导线框 $abc$ 由电阻均匀的导线构成，通过两根平行长直导线 1、2 与电源相连。1 与框的 $ac$ 边延长线重合，1、2 上电流均为 $I$。令 1、2 和线框中电流在中心 $O$ 产生的磁场分别为 $\vec B_1,\vec B_2,\vec B_3$，则 $O$ 点磁场：

• A. $B=0$，因为 $B_1=B_2=B_3=0$。
• B. $B=0$，因为 $\vec B_1+\vec B_2=0,\ B_3=0$。
• C. $B\ne0$，因为虽然 $\vec B_1+\vec B_2=0$，但 $B_3\ne0$。
• D. $B\ne0$，因为虽然 $B_3=0$，但 $\vec B_1+\vec B_2\ne0$。

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答案：D。 对三角形线框，电流从 $a$ 到 $b$ 的两条支路电阻比为 $1:2$，电流比为 $2:1$，在 $O$ 点的磁场正好抵消；两根长直导线与 $O$ 的几何关系不对称，合磁场不为零。

7. 正交载流长直导线

无限长导线 1 沿 $y$ 轴正向通电流 $I_1$，导线 2 沿 $z$ 轴负向通电流 $I_2$。导线 1 固定，导线 2 可自由运动，导线 2 开始运动的趋势是：

• A. 绕 $x$ 轴转动。
• B. 沿 $x$ 方向平动。
• C. 绕 $y$ 轴转动。
• D. 无法判断。

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答案：A。 导线 2 两侧元电流受力方向相反，合力为零但形成绕 $x$ 轴的力偶。

8. 磁介质的相对磁导率

下列表述正确的是：

• A. 顺磁质 $\mu_r>0$，抗磁质 $\mu_r<0$，铁磁质 $\mu_r\gg1$。
• B. 顺磁质 $\mu_r>1$，抗磁质 $\mu_r=1$，铁磁质 $\mu_r\gg1$。
• C. 顺磁质 $\mu_r>1$，抗磁质 $\mu_r<1$，铁磁质 $\mu_r\gg1$。
• D. 顺磁质 $\mu_r<0$，抗磁质 $\mu_r<1$，铁磁质 $\mu_r>0$。

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答案：C。 顺磁介质的 $\mu_r$ 略大于 1，抗磁介质略小于 1，铁磁介质可远大于 1。

9. 增大电流与感应电流

两根无限长平行直导线载有大小相等、方向相反的电流 $I$，并均以 $\mathrm dI/\mathrm dt>0$ 的变化率增长。一矩形线圈位于两导线同一平面内，则：

• A. 线圈中无感应电流。
• B. 线圈中感应电流为顺时针方向。
• C. 线圈中感应电流为逆时针方向。
• D. 感应电流方向不确定。

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答案：B。 先用右手螺旋定则判断两导线在线圈所在区域的磁场同向，再用楞次定律取反向。

10. 感应电场

在感应电场中，电磁感应定律可写为

$$\oint_L\vec E_k\cdot\mathrm d\vec l=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}.$$

此式表明：

• A. 闭合曲线 $L$ 上 $\vec E_k$ 处处相等。
• B. 感应电场是保守场。
• C. 感应电场的场强线不是闭合曲线。
• D. 在感应电场中不能像静电场那样引入单值电势。

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答案：D。 感应电场的闭合环路积分可不为零，它是有旋场，不能用全局单值电势描述。

二、填空题（每题 3 分，共 30 分）

1. 两个无限大带电平面

两个平行的无限大均匀带电平面，电荷面密度分别为 $+\sigma$ 和 $+2\sigma$。设向右为正，求两平面左侧 $A$、中间 $B$、右侧 $C$ 的场强。

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$$E_A=-\frac{3\sigma}{2\varepsilon_0},\qquad E_B=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},\qquad E_C=\frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}.$$

每个无限大平面在两侧产生大小 $\sigma/(2\varepsilon_0)$ 的场，正电面的场方向背离平面，再做矢量叠加。

2. 静电场环路定理

写出静电场环路定理的数学形式、物理意义，并说明静电场的性质。

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$$\oint_L\vec E\cdot\mathrm d\vec l=0.$$

它表示单位正电荷沿任意闭合路径绕行一周时，电场力作功为零；静电场是有势场，也是保守场。

3. 保持接电源的平行板电容器

平行板电容器充电后仍与电源连接，再将极板间充满相对介电常量为 $\varepsilon_r$ 的均匀电介质。此时电荷量、场强和电场能量分别是原来的多少倍？

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依次为 $\varepsilon_r$、1、$\varepsilon_r$。电源使 $U$ 不变，$C$ 变为 $\varepsilon_rC$，因而 $Q=CU$ 与 $W=CU^2/2$ 均变为 $\varepsilon_r$ 倍，$E=U/d$ 不变。

4. 无自由面电荷的介质边界

两种介质的分界面上不存在自由面电荷时，写出界面两侧 $\vec D$ 和 $\vec E$ 必须满足的边界条件。

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$$D_{1n}=D_{2n},\qquad E_{1t}=E_{2t}.$$

5. 面电流圆筒内的磁场

一无限长直圆筒沿圆周方向有面电流密度 $i$（即单位轴向长度上流过的电流）。求圆筒内磁场大小与方向。

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$B=\mu_0 i$，方向沿圆筒轴线，具体指向由右手螺旋定则确定（原图电流方向对应「沿轴线向右」）。

6. 带电粒子在均匀磁场中的运动

分别写出带电粒子平行、垂直和斜交磁感线射入匀强磁场后的运动形式。

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依次为：匀速直线运动、匀速率圆周运动、等距螺旋线运动。

7. 磁场强度和磁导率的单位

在 SI 中，磁场强度 $H$ 和磁导率 $\mu$ 的单位分别是什么？

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$H$ 的单位是 $\mathrm{A/m}$；$\mu$ 的单位是 $\mathrm{T\cdot m/A}$，等价于 $\mathrm{H/m}$。

8. 运动导线中的非静电场强

一根直导线在磁感应强度为 $\vec B$ 的匀强磁场中以速度 $\vec v$ 运动并切割磁感线。写出导线中对应的非静电场强 $\vec E_k$。

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$$\vec E_k=\vec v\times\vec B.$$

9. 长直导线与对称线圈的互感

一根无限长直导线绝缘地紧贴在矩形线圈的中心轴 $OO'$ 上，求导线与线圈间的互感系数。

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$M=0$。长直电流在中心轴两侧穿过线圈的磁通量大小相等、方向相反。

10. 平行板电容器中的位移电流

平行板空气电容器的两极板均为半径 $R$ 的圆形导体片。充电时，板间场强的变化率为 $\mathrm dE/\mathrm dt$。忽略边缘效应，求板间位移电流。

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$$I_d=\varepsilon_0\pi R^2\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}.$$

三、计算题（每题 10 分，共 40 分）

1. 环形薄片和带电细绳

环形薄片的外半径为 $R$，内半径为 $R/2$，电荷 $Q$ 均匀分布在环面上。长为 $3R$ 的细绳也均匀带电荷 $Q$，圆环中心 $O$ 在细绳延长线上。求 $O$ 点的电场强度。

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环面的电荷分布关于 $O$ 中心对称，在 $O$ 点产生的场为零。细绳的线密度为 $\lambda=Q/(3R)$，细绳各电荷元到 $O$ 的距离从 $R$ 变到 $4R$，因而

$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_R^{4R}\frac{\lambda\,\mathrm dx}{x^2} =\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0R^2}.$$

方向沿细绳轴线由细绳指向圆环（图中竖直向下）。

2. 圆柱形电容器的最高耐压

圆柱形电容器的外柱直径为 $4\ \mathrm{cm}$，内柱直径可选。柱间均匀电介质的击穿场强为 $E_0=200\ \mathrm{kV/cm}$。求通过选择内柱半径所能得到的最高耐受电压。

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设内、外柱半径为 $r_0,R$，其中 $R=2\ \mathrm{cm}$。圆柱对称电场满足 $E(r)=\lambda/(2\pi\varepsilon r)$，最大场强出现在 $r=r_0$。刚好达到击穿时

$$U=E_0r_0\ln\frac{R}{r_0}.$$

令 $f(r_0)=r_0\ln(R/r_0)$，由 $f'(r_0)=\ln(R/r_0)-1=0$ 得 $r_0=R/e$。所以

$$U_{\max}=\frac{E_0R}{e} =\frac{200\times2}{2.7183}\ \mathrm{kV} \approx147\ \mathrm{kV}.$$

3. 两个反向通电的共轴线圈

两共轴线圈半径分别为 $R_1,R_2$，电流分别为 $I_1,I_2$，两电流方向相反。两圈心相距 $2b$，中点为 $O$。求轴线上与 $O$ 相距 $x$ 的 $P$ 点磁感应强度。

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取轴线向右为正。圆电流在轴线上距圈心 $z$ 处的场为

$$B(z)=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}.$$

两圈心分别在 $-b$ 和 $+b$，且电流反向，因而

$$B_x(P)=\frac{\mu_0}{2} \left[ \frac{I_1R_1^2}{\bigl(R_1^2+(x+b)^2\bigr)^{3/2}} -\frac{I_2R_2^2}{\bigl(R_2^2+(b-x)^2\bigr)^{3/2}} \right].$$

结果为正时磁场向右，为负时磁场向左。

4. 角形导轨上的滑动导体棒

弯成 $\theta$ 角的金属架 $COD$ 放在磁场中，$\vec B$ 垂直架所在平面。导体棒 $MN$ 垂直 $OD$，并以恒定速度 $v$ 向右滑动；$t=0$ 时 $x=0$。分别求：

1. $B$ 空间均匀且不随时间变化；
2. $B(x,t)=Kx\cos\omega t$。

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设瞬时位置 $x=vt$，回路面积为 $S=x^2\tan\theta/2$。

1. 均匀恒定磁场中

$$|\mathcal E_i|=\left|\frac{\mathrm d(BS)}{\mathrm dt}\right| =Bvx\tan\theta =Bv^2t\tan\theta.$$

根据原图的 $\vec B$ 和 $\vec v$ 方向，导体棒内的感应电动势方向由 $M$ 指向 $N$。

1. 非均匀时变磁场的磁通量为

$$\Phi=\int_0^x\int_0^{\xi\tan\theta}K\xi\cos\omega t\,\mathrm dy\,\mathrm d\xi =\frac{Kx^3\tan\theta}{3}\cos\omega t.$$

因此，取 $O\to N\to M\to O$ 为回路正向时

$$\mathcal E_i=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt} =K\tan\theta \left(\frac{\omega x^3}{3}\sin\omega t-x^2v\cos\omega t\right), \qquad x=vt.$$

结果为正时与所取回路正向一致，为负时反向。