2019-2020 学年春真题

这是 2020 年 6 月 22 日的《基础物理学（信息类）》期末卷，共 6 页，满分 100 分。题面按原卷转写；源目录没有这份卷子的参考答案，下面的解析是依据课件中的定律重新计算的。

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）

1. 速度满足的微分方程

某物体满足 $\mathrm dv/\mathrm dt=-Kv^2$，$K>0$，且 $v(0)=v_0$。下列关系正确的是：

• A. $1/v=-Kt^2/2+1/v_0$
• B. $1/v=-Kt+1/v_0$
• C. $1/v=Kt^2/2+1/v_0$
• D. $1/v=Kt+1/v_0$

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答案：D。 分离变量后 $\mathrm dv/v^2=-K\mathrm dt$，积分得 $-1/v=-Kt-1/v_0$。

2. 理想火箭

火箭初始总质量 $M_0=12.9\ \mathrm t$，燃料质量 $m=9.0\ \mathrm t$，喷气相对火箭速率 $u=2.0\times10^3\ \mathrm{m/s}$。不计重力和空气阻力，燃料耗尽后火箭速率为：

• A. $1.8\times10^3\ \mathrm{m/s}$
• B. $2.4\times10^3\ \mathrm{m/s}$
• C. $2.6\times10^3\ \mathrm{m/s}$
• D. $3.0\times10^3\ \mathrm{m/s}$

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答案：B。 末质量 $M_f=3.9\ \mathrm t$，齐奥尔科夫斯基公式给出

$$v=u\ln\frac{M_0}{M_f} =2.0\times10^3\ln\frac{12.9}{3.9} \approx2.39\times10^3\ \mathrm{m/s}.$$

3. 动量和机械能守恒条件

下列说法正确的是：

• A. 不受外力的系统，动量和机械能必然同时守恒。
• B. 合外力为零、内力都是保守力的系统，机械能必然守恒。
• C. 不受外力，且内力都是保守力的系统，动量和机械能必然同时守恒。
• D. 外力对系统作功为零，则机械能和动量必然同时守恒。

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答案：C。 动量守恒看合外力；机械能守恒还要求非保守力不作功。

4. 刚体上一点的速度

刚体以每分钟 30 转绕 $z$ 轴匀速转动，$\vec\omega$ 沿 $+z$。某点位置矢量为 $\vec r=2\vec i-3\vec j+4\vec k$，以 $10^{-2}\ \mathrm m$ 为单位。若速度以 $10^{-2}\ \mathrm{m/s}$ 为单位，则：

• A. $\vec v=12.56\vec k$
• B. $\vec v=-9.42\vec i+6.28\vec j$
• C. $\vec v=6.28\vec i-9.42\vec j+12.56\vec k$
• D. $\vec v=9.42\vec i+6.28\vec j$

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答案：D。 $\omega=\pi\ \mathrm{rad/s}$，且 $\vec v=\vec\omega\times\vec r=\pi(3\vec i+2\vec j)$。

5. 电子的相对论动能

将静止质量为 $m_e$ 的电子从静止加速到 $0.7c$，需作功：

• A. $0.25m_ec^2$
• B. $0.40m_ec^2$
• C. $0.49m_ec^2$
• D. $1.40m_ec^2$

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答案：B。 $\gamma=1/\sqrt{1-0.7^2}\approx1.400$，故 $K=(\gamma-1)m_ec^2\approx0.40m_ec^2$。

6. 高斯定理的适用范围

对 $\displaystyle\oint_S\vec E\cdot\mathrm d\vec S=\int_V\rho\,\mathrm dV/\varepsilon_0$，下列说法正确的是：

• A. 只适用于真空中的静电场。
• B. 只适用于球、轴或平面对称的静电场。
• C. 只适用于可以找到合适高斯面的静电场。
• D. 适用于任何静电场。

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答案：D。 对称性只决定它是否「容易用来算场」，不决定定理是否成立。

7. 断开电源后插入电介质

空气平行板电容器充电后断开电源，初始能量为 $W_0$。在极板间充满 $\varepsilon_r$ 的均匀电介质后，能量为：

• A. $\varepsilon_rW_0$
• B. $W_0/\varepsilon_r$
• C. $(1+\varepsilon_r)W_0$
• D. $W_0$

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答案：B。 断开电源后 $Q$ 不变，$C'=\varepsilon_rC$，所以 $W'=Q^2/(2C')=W_0/\varepsilon_r$。

8. 折弯长导线在圆心的磁场

将无限长导线折成图示形状，电流 $I=2.0\ \mathrm A$，半圆环半径 $R=0.20\ \mathrm m$，$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$。求圆心 $O$ 点磁场大小。

• A. $4.1\times10^{-6}\ \mathrm T$
• B. $2.1\times10^{-6}\ \mathrm T$
• C. $4.1\times10^{-5}\ \mathrm T$
• D. $2.1\times10^{-5}\ \mathrm T$

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答案：A。 右侧导线沿经向延长，对 $O$ 点无贡献；半圆环和左侧半无限长切线段的磁场同向：

$$B=\frac{\mu_0I}{4R}+\frac{\mu_0I}{4\pi R} \approx4.14\times10^{-6}\ \mathrm T.$$

9. 正三角形线圈的磁力矩

边长为 $a$ 的正三角形线圈通电流 $I$，置于匀强磁场 $\vec B$ 中。线圈法向与磁场正交时，磁力矩大小为：

• A. $\sqrt3a^2IB/2$
• B. $3a^2IB/4$
• C. $\sqrt3a^2IB/4$
• D. $0$

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答案：C。 $M_m=ISB\sin90^\circ$，而正三角形面积 $S=\sqrt3a^2/4$。

10. 互感系数是否取决于电流

线圈 $a$ 产生的磁场内有另一线圈 $b$，两者相对位置固定。若 $b$ 中电流为零（断路），则两线圈间的互感系数：

• A. 可为零也可不为零，与 $b$ 中电流无关。
• B. 一定不为零。
• C. 可为零也可不为零，与 $a$ 中电流有关。
• D. 一定为零。

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答案：A。 在线性介质中，$M$ 取决于几何位置、匪数和介质，不取决于瞬时电流。特殊几何下 $M$ 可为零。

二、填空题（每题 3 分，共 30 分）

1. 由位置求速度和加速度方向

$$\vec r=\left(3t-\frac16t^3\right)\vec i +\left(4-3t+\frac12t^2\right)\vec j\quad(\mathrm{SI}).$$

求 $t=2\ \mathrm s$ 时速率，以及加速度与 $+x$ 轴的夹角。

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$\vec v=(3-t^2/2)\vec i+(-3+t)\vec j$，因此 $\vec v(2)=\vec i-\vec j$，$v=\sqrt2\ \mathrm{m/s}$。$\vec a=-t\vec i+\vec j$，所以

$$\alpha=\arccos\frac{-2}{\sqrt5} =\pi-\arctan\frac12 \approx153.4^\circ.$$

2. 小球与地面碰撞的冲量

小球以水平速度 $v$ 抛出，落地后反弹，在抛出 $t$ 秒后回到原高度，速度仍水平且大小不变。求地面在碰撞过程中给小球的冲量。

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从抛出到回到原高度，小球总动量变化为零。重力总冲量为 $-mgt\vec j$，因而地面冲量必为 $mgt\vec j$，即竖直向上，大小 $mgt$。

3. 非线性弹簧的最大压缩量

轻弹簧的弹性力为 $F=-kx^2$。质量为 $m$ 的滑块在光滑水平面上以速度 $v$ 开始压缩处于原长的弹簧，求最大压缩量。

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$$\frac12mv^2=\int_0^{x_{\max}}kx^2\,\mathrm dx =\frac13kx_{\max}^3, \qquad x_{\max}=\left(\frac{3mv^2}{2k}\right)^{1/3}.$$

4. 引力散射轨道

质量为 $m_A$ 的质点 $A$ 从无穷远处以速度 $v_0$ 飞来，初始速度所在直线与固定质点 $B$ 的垂直距离为 $D$。$A$ 只受 $B$ 的万有引力，轨道到 $B$ 的最短距离为 $d$。求 $m_B$。

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角动量守恒给出 $v_0D=vd$；以无穷远为引力势能零点，机械能守恒给出

$$\frac12v_0^2=\frac12v^2-\frac{Gm_B}{d}.$$

消去 $v$ 得

$$m_B=\frac{v_0^2(D^2-d^2)}{2Gd}.$$

5. 利用「同时」求惯性系相对速度

$K'$ 相对 $K$ 沿 $x$ 轴运动。$K$ 系测得两事件的 $\Delta x=500\ \mathrm m$、$\Delta t=2\times10^{-7}\ \mathrm s$；$K'$ 系测得两事件同时。求 $K'$ 相对 $K$ 的速度。

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$\Delta t'=\gamma(\Delta t-u\Delta x/c^2)=0$，所以

$$u=\frac{c^2\Delta t}{\Delta x} =3.6\times10^7\ \mathrm{m/s}.$$

6. 异号面电荷的两个无限大平面

左、右两平面的电荷面密度分别为 $\sigma_A=-35.4\times10^{-9}\ \mathrm{C/m^2}$ 和 $\sigma_B=17.7\times10^{-9}\ \mathrm{C/m^2}$。设向右为正，求左侧 $A$、中间 $B$、右侧 $C$ 三区域的场强。

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由无限大平面的 $E=\sigma/(2\varepsilon_0)$ 叠加得

$$E_A=1.0\times10^3\ \mathrm{N/C},\quad E_B=-3.0\times10^3\ \mathrm{N/C},\quad E_C=-1.0\times10^3\ \mathrm{N/C}.$$

7. 静电场作功和电势

质子沿四分之一圆弧从 $A$ 到 $B$，电场力作功 $4.0\times10^{-16}\ \mathrm J$。若它沿另外四分之三圆弧从 $B$ 回到 $A$，电场力作功多少？设 $U_B=0$，求 $U_A$。

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静电场作功与路径无关，因而 $B\to A$ 作功为 $-4.0\times10^{-16}\ \mathrm J$。又因

$$W_{A\to B}=e(U_A-U_B),$$

所以 $U_A=4.0\times10^{-16}/(1.6\times10^{-19})=2.5\times10^3\ \mathrm V$。

8. 平行板电容器极板间的力

平行板电容器极板面积为 $S$，间距为 $d$，中间为空气，极板电压为 $U$。忽略边缘效应，求两板间作用力。

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电场能量密度（也是电压强）为 $\varepsilon_0E^2/2$，因此

$$F=\frac12\varepsilon_0E^2S =\frac{\varepsilon_0SU^2}{2d^2}.$$

9. 库仑力和洛伦兹力共同提供向心力

水平光滑平面上，$S$ 处固定一负点电荷。匀强磁场 $B$ 垂直纸面向里时，比荷为 $\gamma=q/m$ 的正粒子以 $v_0$ 逆时针绕 $S$ 做半径 $R_0$ 的匀速圆周运动。求 $S$ 处电荷量的大小；撤去磁场后，若粒子仍以 $v_0$ 绕 $S$ 运动，求新半径 $R$。

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库仑力与洛伦兹力在原运动中都指向圆心，所以

$$\frac{v_0^2}{R_0}=\frac{\gamma|Q|}{4\pi\varepsilon_0R_0^2}+\gamma v_0B.$$

由此

$$|Q|=4\pi\varepsilon_0R_0 \left(\frac{v_0^2}{\gamma}-v_0BR_0\right).$$

撤去磁场后 $v_0^2/R=\gamma|Q|/(4\pi\varepsilon_0R^2)$，因而

$$R=R_0-\frac{\gamma BR_0^2}{v_0}.$$

10. 线性变化电压下的位移电流

平行板电容器电容为 $C$，圆板半径为 $R$，某段时间内 $U_{12}=Kt$，$K>0$。忽略边缘效应，求板间位移电流大小，以及距轴线 $r<R$ 处的磁感应强度大小。

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$$I_d=C\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}=CK.$$

位移电流密度均匀，半径 $r$ 内包含电流 $I_d(r^2/R^2)$。安培-麦克斯韦定律给出

$$B(2\pi r)=\mu_0I_d\frac{r^2}{R^2}, \qquad B=\frac{\mu_0CKr}{2\pi R^2}.$$

三、计算题（每题 10 分，共 40 分）

1. 碰墙后由滑动过渡到纯滚动

质量为 $m$、半径为 $R$ 的空心足球与光滑竖直墙正碰后，先向右滑动，再进入纯滚动。以碰撞刚结束为 $t=0$，质心速度为 $v_{C0}$，角速度为 $\omega_0$；向右和顺时针分别为平动、转动正方向。滑动摩擦系数为 $\mu$，$I_C=2mR^2/3$。求开始纯滚动的时刻与当时质心速度。

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与地面的相对滑动速度为 $v_C-R\omega$。按图示初态，摩擦力向左，因此

$$v_C=v_{C0}-\mu gt,\qquad \omega=\omega_0+\frac{\mu mgR}{I_C}t =\omega_0+\frac{3\mu g}{2R}t.$$

纯滚动条件 $v_C=R\omega$给出

$$t_r=\frac{2(v_{C0}-R\omega_0)}{5\mu g},\qquad v_r=\frac{3v_{C0}+2R\omega_0}{5}.$$

若另取一个使初始滑动方向相反的参数组合，摩擦力方向也应反转；判断核心始终是看 $v_{C0}-R\omega_0$ 的符号。

2. 高速介子的平均飞行距离

某介子固有寿命 $\tau_0=2\times10^{-6}\ \mathrm s$，静止能量 $E_0=100\ \mathrm{MeV}$，运动时总能量 $E=2000\ \mathrm{MeV}$。求它的平均运动距离。

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$\gamma=E/E_0=20$，$\beta=\sqrt{1-1/\gamma^2}=\sqrt{399/400}$，实验室寿命为 $\gamma\tau_0=4.0\times10^{-5}\ \mathrm s$。所以

$$L=\beta c\gamma\tau_0 =c\tau_0\sqrt{\gamma^2-1} \approx1.20\times10^4\ \mathrm m.$$

3. 两个相距很远的导体球相连

半径分别为 $R_1=1.0\ \mathrm{cm}$、$R_2=2.0\ \mathrm{cm}$ 的导体球相距很远，初始电荷分别为 $1.0\times10^{-8}\ \mathrm C$、$-2.0\times10^{-8}\ \mathrm C$。用细导线连接后求平衡时：（1）每球电荷；（2）电荷面密度；（3）电势。

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总电荷 $Q=-1.0\times10^{-8}\ \mathrm C$，平衡时两球等电势，故 $q_1/R_1=q_2/R_2$，即 $q_1:q_2=1:2$。所以

$$q_1=-3.33\times10^{-9}\ \mathrm C,\qquad q_2=-6.67\times10^{-9}\ \mathrm C.$$ $$\sigma_1=\frac{q_1}{4\pi R_1^2}\approx-2.65\times10^{-6}\ \mathrm{C/m^2}, \qquad \sigma_2\approx-1.33\times10^{-6}\ \mathrm{C/m^2}.$$ $$U_1=U_2=\frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0R_1} =-3.0\times10^3\ \mathrm V.$$

4. 长直导线与矩形线圈的感应电动势

长直导线与共面矩形线圈 $ABCD$ 如图，线圈与导线平行的边长为 $l$，近边、远边到导线的初始距离为 $a$、$a+b$。求：

1. $I=I_0$ 不变，线圈以速度 $v$ 垂直导线离开时的 $\mathcal E_1(t)$；
2. 线圈不动，$I=I_0\sin\omega t$ 时的 $\mathcal E_2(t)$。

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长直导线在距离 $r$ 处产生 $B=\mu_0I/(2\pi r)$。

1. 线圈移动时

$$\Phi(t)=\frac{\mu_0I_0l}{2\pi} \ln\frac{a+b+vt}{a+vt},$$ $$\mathcal E_1=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt} =\frac{\mu_0I_0lvb}{2\pi(a+vt)(a+b+vt)}.$$

1. 线圈不动时

$$\mathcal E_2=-\frac{\mu_0l}{2\pi} \ln\frac{a+b}{a}\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt} =-\frac{\mu_0lI_0\omega}{2\pi} \ln\frac{a+b}{a}\cos\omega t.$$

上式的正负号对应于先为线圈选定的正向；实际电流方向由楞次定律判断。