作业 5.1–5.5 · 欧氏空间

#作业

以下按《作业 5.1–5.5 习题》转写。源文件只有题面，未附答案或作答，因此我不补造解答。

第 1 题

证明：对任意实数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n 有

∣a1∣+∣a2∣+⋯+∣an∣≤n(a12+a22+⋯+an2).|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| \le \sqrt{n(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)}.

第 2 题

设 α≠β\alpha\ne\beta 是欧氏空间中长度为 11 的两个向量，求证：(α,β)≠1(\alpha,\beta)\ne1。

第 3 题

设 α1,…,αn\alpha_1,\ldots,\alpha_n 是欧氏空间 Rn\mathbb R^n 的一组基，α,β∈Rn\alpha,\beta\in\mathbb R^n，求证：

  1. α=0⟺(α,αi)=0\alpha=0\Longleftrightarrow(\alpha,\alpha_i)=0 对所有 1≤i≤n1\le i\le n 成立；
  2. α=β⟺(α,αi)=(β,αi)\alpha=\beta\Longleftrightarrow(\alpha,\alpha_i)=(\beta,\alpha_i) 对所有 1≤i≤n1\le i\le n 成立。

第 4 题

设 A=(aij)A=(a_{ij}) 是一个 nn 阶正定阵（若对任意 X≠0∈RnX\ne0\in\mathbb R^n 有 XTAX>0X^TAX>0，则称实对称方阵 AA 是正定阵）。对向量

α=(x1,x2,…,xn),β=(y1,y2,…,yn)∈Rn,\alpha=(x_1,x_2,\ldots,x_n), \qquad \beta=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in\mathbb R^n,

在 Rn\mathbb R^n 上定义内积

(α,β)=αAβT.(\alpha,\beta)=\alpha A\beta^T.
  1. 证明：在这个内积定义下，Rn\mathbb R^n 是一个欧氏空间；
  2. 求自然基 ε1=(1,0,…,0),…,εn=(0,0,…,1)\varepsilon_1=(1,0,\ldots,0),\ldots,\varepsilon_n=(0,0,\ldots,1) 的度量矩阵。

第 5 题

设 η1,η2,η3\eta_1,\eta_2,\eta_3 是三维欧氏空间的一组标准正交基，证明

α1=13(2η1+2η2−η3),α2=13(2η1−η2+2η3),α3=13(η1−2η2−2η3)\begin{aligned} \alpha_1&=\frac13(2\eta_1+2\eta_2-\eta_3),\\ \alpha_2&=\frac13(2\eta_1-\eta_2+2\eta_3),\\ \alpha_3&=\frac13(\eta_1-2\eta_2-2\eta_3) \end{aligned}

也是一组标准正交基。

第 6 题

  1. 求齐次方程组
{x1+x2+x3+x4+x5=0,2x1+3x2+5x3+8x4=0\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0,\\ 2x_1+3x_2+5x_3+8x_4=0 \end{cases}

的解空间的一组标准正交基。

  1. 将 (1,1,1,1,1),(2,3,5,8,0)(1,1,1,1,1),(2,3,5,8,0) 扩充为欧氏空间 R5\mathbb R^5 的一组标准正交基。

第 7 题

在欧氏空间 R4\mathbb R^4 中，设 WW 为

{2x1+x2+3x3−x4=0,3x1+2x2−2x4=0,3x1+x2+9x3−x4=0\begin{cases} 2x_1+x_2+3x_3-x_4=0,\\ 3x_1+2x_2-2x_4=0,\\ 3x_1+x_2+9x_3-x_4=0 \end{cases}

的解空间，求 W⊥W^\perp。

第 8 题

设 η\eta 是欧氏空间 VV 中的一个单位向量，定义

A(α)=α−2(η,α)η.\mathcal A(\alpha)=\alpha-2(\eta,\alpha)\eta.

证明：

  1. A\mathcal A 是 VV 上的正交变换；
  2. A\mathcal A 是第二类的。

第 9 题

设 VV 是 nn 维欧氏空间，α≠0\alpha\ne0 是 VV 中一个固定向量。

  1. 证明 V1={x∣(x,α)=0,x∈V}V_1=\{x\mid(x,\alpha)=0,x\in V\} 是 VV 的一个子空间；
  2. 证明 V1V_1 的维数等于 n−1n-1。

第 10 题

设 TT 是 nn 维欧氏空间 VV 的正交变换，又设

V1={α∈V∣T(α)=α},V2={α−T(α)∣α∈V}.V_1=\{\alpha\in V\mid T(\alpha)=\alpha\}, \qquad V_2=\{\alpha-T(\alpha)\mid\alpha\in V\}.

证明：V1,V2V_1,V_2 是 VV 的子空间，且 V=V1⊕V2V=V_1\oplus V_2。

第 11 题

设 T1,T2T_1,T_2 是欧氏空间 VV 的两个线性变换，并且对任意 α∈V\alpha\in V 有

(T1(α),T1(α))=(T2(α),T2(α)).(T_1(\alpha),T_1(\alpha)) =(T_2(\alpha),T_2(\alpha)).

证明：T1(V)T_1(V) 和 T2(V)T_2(V) 作为欧氏空间是同构的。

第 12 题

设 WW 是 R3\mathbb R^3 中过 (0,0,0),(1,2,2),(3,4,0)(0,0,0),(1,2,2),(3,4,0) 的平面，求点 A(5,0,0)A(5,0,0) 到平面 WW 的最短距离。

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