第 2 讲 · 线性方程组与高斯消元

线性代数的第一条主线，是把「解一堆方程」变成「对一张数表做规则化操作」。这张数表就是增广矩阵，这套操作就是高斯消元。

从方程到增广矩阵

方程组

\begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ \qquad\vdots\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}

可写成 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ ，并用增广矩阵 $[A\mid\boldsymbol b]$ 保存全部信息。对方程做以下三种操作不改变解集：

在矩阵上，它们就是三种初等行变换。只做行变换的原因也在这里：每一行对应一个方程，行操作有明确的同解保证。

通过消元把增广矩阵化成行阶梯形：每个非零行的首个非零元比上一行更靠右，零行全在最下面。首个非零元所在的列是主元列，对应变量叫主元变量；剩下的是自由变量。

化完后只有三种情况：

这又可用秩语言统一表达。设 $A$ 有 $n$ 列：

\begin{aligned} \operatorname{rank}(A)&<\operatorname{rank}([A\mid\boldsymbol b]) &&\Longrightarrow \text{无解},\\ \operatorname{rank}(A)&=\operatorname{rank}([A\mid\boldsymbol b])=n &&\Longrightarrow \text{唯一解},\\ \operatorname{rank}(A)&=\operatorname{rank}([A\mid\boldsymbol b])<n &&\Longrightarrow \text{无穷多解}. \end{aligned}

解

\begin{cases} x+2y-z=1,\\ 2x+5y+z=4,\\ x+3y+2z=3. \end{cases}

对增广矩阵做行变换：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\ 2&5&1&4\\ 1&3&2&3 \end{array} \right] \xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-R_1} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\ 0&1&3&2\\ 0&1&3&2 \end{array} \right] \xrightarrow{R_3-R_2} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\ 0&1&3&2\\ 0&0&0&0 \end{array} \right].

没有矛盾行，但只有两个主元，所以取 $z=t$ 为自由变量。第二行给出 $y=2-3t$ ，第一行给出 $x=-3+5t$ 。通解是

\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}5\\-3\\1\end{pmatrix}, \qquad t\in\mathbb R.

这个形式已经暗示了后面的「解集结构」：非齐次方程的全部解等于一个特解，加上对应齐次方程的全部解。

带参数时，不要过早用含参数的量去除一行，因为它可能为 $0$ 。更稳定的流程是：

「行列式为零」只能说明方阵不可逆，不能直接断言非齐次方程无解或有无穷多解；这两种情况必须看增广秩。

$A\boldsymbol x=\boldsymbol0$ 总有零解，所以只会是「仅零解」或「有非零解」：

A\boldsymbol x=\boldsymbol0\text{ 有非零解} \Longleftrightarrow \operatorname{rank}(A)<n.

当 $A$ 是 $n$ 阶方阵时，这还等价于 $\det A=0$ 。但当 $A$ 是矩形矩阵时，行列式根本没有定义，必须回到秩判定。