第 1 讲 · 空间向量与解析几何

解析几何的核心不是背方程，而是把几何关系翻译成向量关系。只要先找到「方向」和「法向」，大多数题都只剩下点积、叉积和解方程。

坐标是怎么来的

在空间中选一个原点 OO 和三个不共面的基向量 e1,e2,e3\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\boldsymbol e_3，就得到一个仿射标架。任意点 PP 唯一对应

OP→=xe1+ye2+ze3,\overrightarrow{OP}=x\boldsymbol e_1+y\boldsymbol e_2+z\boldsymbol e_3,

于是可以用 (x,y,z)(x,y,z) 表示 PP。课程中常用直角坐标系，也就是三个基向量两两正交且长度均为 11。

点和向量要分清：点 PP 表示「在哪儿」，向量 v\boldsymbol v 表示「向哪儿移多少」。两点之差才是向量：

AB→=B−A=(xB−xA,yB−yA,zB−zA).\overrightarrow{AB}=B-A=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A).

三种乘法各管什么

点积：垂直、夹角和投影

a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3=∥a∥∥b∥cos⁡θ.\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b =a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 =\lVert\boldsymbol a\rVert\lVert\boldsymbol b\rVert\cos\theta.

因此 a⊥b\boldsymbol a\perp\boldsymbol b 等价于 a⋅b=0\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0。a\boldsymbol a 在非零向量 b\boldsymbol b 方向上的标量投影和向量投影分别是

comp⁡ba=a⋅b∥b∥,proj⁡ba=a⋅bb⋅bb.\operatorname{comp}_{\boldsymbol b}\boldsymbol a =\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{\lVert\boldsymbol b\rVert}, \qquad \operatorname{proj}_{\boldsymbol b}\boldsymbol a =\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{\boldsymbol b\cdot\boldsymbol b}\boldsymbol b.

前者是一个数，后者是一个向量；这是真题中很常见的混淆点。

空间向量在给定轴上的正交投影示意

叉积：法向和面积

a×b\boldsymbol a\times\boldsymbol b 同时垂直于 a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b，方向按右手定则，长度为

∥a×b∥=∥a∥∥b∥sin⁡θ.\lVert\boldsymbol a\times\boldsymbol b\rVert =\lVert\boldsymbol a\rVert\lVert\boldsymbol b\rVert\sin\theta.

所以它既能产生平面的法向量，也能计算平行四边形面积。三角形 ABCABC 的面积是

SABC=12∥AB→×AC→∥.S_{ABC}=\frac12\lVert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\rVert.

混合积：共面和体积

[a,b,c]=(a×b)⋅c.[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c] =(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c.

它的绝对值是三个向量张成的平行六面体体积；其值为 00 当且仅当三个向量共面。交换其中两个向量会变号，循环换位则不变。

平面和直线的三步法

平面过点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0)，法向量为 n=(A,B,C)\boldsymbol n=(A,B,C) 时，

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0.A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.

直线过点 P0P_0，方向向量为 s=(l,m,n)\boldsymbol s=(l,m,n) 时，

(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(l,m,n).(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(l,m,n).

对一道直线或平面题，可以固定问三件事：

  1. 有没有一个已知点？
  2. 要找的是方向向量，还是法向量？
  3. 「平行」「垂直」「相交」分别会给这些向量什么约束？

同一个对象常有几种写法。平面的点法式展开后是一般式

Ax+By+Cz+D=0,Ax+By+Cz+D=0,

若平面与三条坐标轴分别交于 (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，还可写成截距式

xa+yb+zc=1.\frac xa+\frac yb+\frac zc=1.

直线除了参数式，还可写成对称式

x−x0l=y−y0m=z−z0n,\frac{x-x_0}{l} =\frac{y-y_0}{m} =\frac{z-z_0}{n},

或写成两个平面的交线

{A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0. \end{cases}

遇到某个方向分量为 00 时不要在对称式里除以 00，直接保留相应坐标等式。例如方向为 (1,0,2)(1,0,2) 的直线应写成

x−x01=z−z02,y=y0.\frac{x-x_0}{1}=\frac{z-z_0}{2}, \qquad y=y_0.

两个不平行平面

Π1=0,Π2=0\Pi_1=0, \qquad \Pi_2=0

的交线所确定的平面束可写成 Π1+λΠ2=0\Pi_1+\lambda\Pi_2=0。它一次性表示所有经过这条交线的平面；再代入额外条件求 λ\lambda，通常比从四个未知系数开始设平面更快。

位置关系与夹角

把直线方向记为 s\boldsymbol s，平面法向记为 n\boldsymbol n，位置关系便可直接翻译：

  • 两直线平行：方向向量成比例；垂直：方向向量点积为 00；
  • 两平面平行：法向量成比例；垂直：法向量点积为 00；
  • 直线与平面平行：s⋅n=0\boldsymbol s\cdot\boldsymbol n=0；垂直：s\boldsymbol s 与 n\boldsymbol n 成比例。

相应的锐角公式是

cos⁡θLL=∣s1⋅s2∣∥s1∥∥s2∥,\cos\theta_{LL} =\frac{|\boldsymbol s_1\cdot\boldsymbol s_2|} {\lVert\boldsymbol s_1\rVert\lVert\boldsymbol s_2\rVert}, cos⁡θΠΠ=∣n1⋅n2∣∥n1∥∥n2∥,\cos\theta_{\Pi\Pi} =\frac{|\boldsymbol n_1\cdot\boldsymbol n_2|} {\lVert\boldsymbol n_1\rVert\lVert\boldsymbol n_2\rVert}, sin⁡θLΠ=∣s⋅n∣∥s∥∥n∥.\sin\theta_{L\Pi} =\frac{|\boldsymbol s\cdot\boldsymbol n|} {\lVert\boldsymbol s\rVert\lVert\boldsymbol n\rVert}.

最后一式用正弦，是因为直线与平面的夹角，和方向向量与法向量的夹角互余。

完整例子：过直线且垂直于已知平面

设待求平面包含直线 LL，LL 的方向向量为 s\boldsymbol s；已知平面 Π\Pi 的法向量为 n\boldsymbol n。待求平面的法向 N\boldsymbol N 必须同时垂直于 s\boldsymbol s 和 n\boldsymbol n，所以可取

N=s×n.\boldsymbol N=\boldsymbol s\times\boldsymbol n.

再把 LL 上任意一点代入点法式即可。关键是先画出向量之间的垂直关系，不要一开始就设 Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 然后盲目联立。

距离公式的来源

点 PP 到平面 Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 的距离，本质是 P0P→\overrightarrow{P_0P} 在单位法向上的投影长度：

d=∣AxP+ByP+CzP+D∣A2+B2+C2.d=\frac{|Ax_P+By_P+Cz_P+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

点 PP 到直线 L:P0+tsL:P_0+t\boldsymbol s 的距离，则可用平行四边形面积除以底边：

d=∥P0P→×s∥∥s∥.d=\frac{\lVert\overrightarrow{P_0P}\times\boldsymbol s\rVert}{\lVert\boldsymbol s\rVert}.

两异面直线的距离是连接两直线上任意两点的向量，在共同法向 s1×s2\boldsymbol s_1\times\boldsymbol s_2 上的投影长度。

若两异面直线分别过 P1,P2P_1,P_2，方向为 s1,s2\boldsymbol s_1,\boldsymbol s_2，公式就是

d=∣P1P2→⋅(s1×s2)∣∥s1×s2∥.d= \frac{\left| \overrightarrow{P_1P_2}\cdot (\boldsymbol s_1\times\boldsymbol s_2) \right|} {\lVert\boldsymbol s_1\times\boldsymbol s_2\rVert}.

两平行平面应先把 A,B,CA,B,C 化成相同的一组系数，再用

d=∣D1−D2∣A2+B2+C2.d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

曲面和曲线怎么读

曲面的一般方程是 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0。方程中若缺少某个坐标，往往表示曲面沿该坐标轴方向无限延伸。例如 x2+y2=1x^2+y^2=1 不限制 zz，所以是以 zz 轴为轴的圆柱面，而不是一条圆。

二次曲面不要只凭名字记图，要看等号右边和二次项符号：

标准式曲面读法
x2a2+y2b2+z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1椭球面三个同号平方项围成封闭曲面
x2a2+y2b2−z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1单叶双曲面两正一负，等于 11
z2c2−x2a2−y2b2=1\dfrac{z^2}{c^2}-\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1双叶双曲面一正两负，正项所在轴是分叶方向
x2a2+y2b2=2z\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=2z椭圆抛物面同号平方项，沿 zz 的正向张开
x2a2−y2b2=2z\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=2z双曲抛物面异号平方项，呈马鞍形
x2a2+y2b2−z2c2=0\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0椭圆锥面齐次二次式，顶点在原点

一般二次曲面先通过配方平移中心，再看各平方项符号和系数。判断平面截痕时，把平面方程代入曲面，最后得到的是椭圆、双曲线还是抛物线，就对应交线类型。

空间曲线可以用参数式

x=x(t),y=y(t),z=z(t),x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad z=z(t),

也常写成两个曲面的交

{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0.\begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0. \end{cases}

求它在 XOYXOY 面上的投影，分两步：先从 F=0,G=0F=0,G=0 中消去 zz，得到只含 x,yx,y 的投影柱面 H(x,y)=0H(x,y)=0；再加上 z=0z=0，才得到投影曲线

{H(x,y)=0,z=0.\begin{cases} H(x,y)=0,\\ z=0. \end{cases}

这也解释了为什么不能简单地把原方程里的 zz 项删掉。

最容易错的地方

  • a×b=−b×a\boldsymbol a\times\boldsymbol b=-\boldsymbol b\times\boldsymbol a，叉积不满足交换律；向量三重积也不能随便加括号。
  • 方向向量平行于直线，法向量垂直于平面，两者的角度关系不能混用。
  • 求夹角时通常取锐角，所以分子需要绝对值；求有向角时才保留符号。
  • 求投影曲线不是直接把某个坐标删掉，而是先消元再加投影面方程。

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