2006–2007 学年第一学期期末真题

卷面日期为 2007 年 1 月 24 日。源目录中的试卷版和“试题及答案”版题目相同，后者只用红字标出了选择题、填空题答案，没有后续大题解答。源目录同时提醒这些答案并非官方答案且有部分错误；我逐项核对后折叠展示，并对正定二次型填空题的明显反向答案作了勘误。

一、选择题（每题 3 分，共 24 分）

1. 矩阵的秩

已知矩阵

$$A= \begin{pmatrix} 1&2&-2\\ 4&t&3\\ 3&-1&1 \end{pmatrix},$$

$B$ 为三阶非零矩阵，且 $AB=O$，则 $t$ 的值为（　　）。

A. $t=-3$　B. $t=9$　C. $t\ne-3$　D. $t\ne9$

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选 A。

2. 乘可逆矩阵与秩

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$C$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$R(A)=r$，矩阵 $B=AC$ 且 $R(B)=r_1$，则（　　）。

A. $r_1<r$　B. $r_1>r$　C. $r_1=r$　D. $r_1$ 和 $r$ 的关系依 $C$ 而定

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选 C。

3. 数乘矩阵的伴随矩阵

设 $A$ 为任一 $n$（$n\ge3$）阶方阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$k$ 为常数且 $k\ne0,\pm1$，则必有 $(kA)^*=$（　　）。

A. $kA^*$　B. $k^{n-1}A^*$　C. $k^nA^*$　D. $k^{-1}A^*$

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选 B。

4. 行向量的最大无关组

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $R(A)=r<n$，那么在 $A$ 的 $n$ 个行向量中（　　）。

A. 必有 $r$ 个行向量线性无关

B. 任意 $r$ 个行向量线性无关

C. 任意 $r$ 个行向量都构成最大线性无关组

D. 任何一个行向量都可由其他 $r$ 个行向量线性表出

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选 A。

5. 对合矩阵

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A^2=E$，则（　　）。

A. $A$ 的行列式为 $1$

B. $A$ 的特征值都是 $1$

C. $A$ 的秩为 $n$

D. $A$ 一定是对称矩阵

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选 C。

6. 两个向量组的秩

设 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 与 $\beta_1,\ldots,\beta_t$ 为同维向量组，且

$$R(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)=a,\qquad R(\beta_1,\ldots,\beta_t)=b.$$

则 $R(\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\beta_1,\ldots,\beta_t)$（　　）。

A. $\le a+b$　B. $>a+b$　C. $\le\max\{a,b\}$　D. $<\min\{a,b\}$

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选 A。

7. 实对称矩阵的合同

$n$ 阶实对称矩阵 $A$ 合同于矩阵 $B$ 的充要条件是（　　）。

A. $R(A)=R(B)$

B. $A$ 与 $B$ 的正惯性指数相等

C. $A,B$ 为正定矩阵

D. A、B 同时成立

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选 D。

8. 方阵的行列式

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵，则必有（　　）。

A. $|A+B|=|A|+|B|$

B. $AB=BA$

C. $|AB|=|BA|$

D. $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$

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选 C。

二、填空题（每空 3 分，共 27 分）

1. 行列式的列变换

设 $A$ 为三阶矩阵，三个列向量分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，即 $A=(\alpha,\beta,\gamma)$，则

|\gamma-2\alpha,3\beta,\alpha|=\text{______}.

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$-3|A|$。

2. 逆矩阵的行列式

$A$ 为四阶矩阵，$|A|=3$，则 $|(2A)^{-1}|=$ ______。

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$\dfrac1{48}$。

3. 分块对角行列式

设 $A$ 为二阶方阵，$B$ 为三阶方阵，且

$$|A|=\frac1{|B|}=\frac12,$$

则

\begin{vmatrix} -B&O\\ O&2A^{-1} \end{vmatrix}=\text{______}.

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$-16$。

4. 矩阵多项式

设矩阵 $A$ 满足 $A^2-3A-2E=O$，其中 $E$ 为与 $A$ 同阶的单位矩阵，则 $A^{-1}=$ ______。

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$\dfrac12A-\dfrac32E$。

5. 对角化

设 $A$ 为三阶方阵，其特征值依次为 $1,-2,3$，对应特征向量依次为 $p_1,p_2,p_3$。设 $P=(p_3,p_1,p_2)$，则 $P^{-1}AP=$ ______。

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$\operatorname{diag}(3,1,-2)$。

6. 向量组的秩

已知向量组

$$\begin{aligned} \alpha_1&=(1,2,2,0)^T,& \alpha_2&=(1,1,-1,2)^T,\\ \alpha_3&=(1,0,-4,4)^T,& \alpha_4&=(0,2,-3,-3)^T, \end{aligned}$$

它的秩为 ______，一个极大线性无关组为 ______。

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秩为 $3$；可取 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$。

7. 正定二次型

设

$$f(x_1,x_2,x_3) =x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+2a x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3$$

为正定二次型，则 $a$ 满足 ______。

查看源答案与勘误

源文件红字写成“$a>1$ 或 $a<-2$”，但这与正定条件相反。对应对称矩阵的顺序主子式为

$$\Delta_1=1,\qquad \Delta_2=4-a^2,\qquad \Delta_3=-4(a-1)(a+2).$$

由 Sylvester 判据应有 $-2<a<1$。

8. 相似矩阵的行列式

若 $A$ 相似于对角矩阵 $\operatorname{diag}(1,-1,2)$，则 $|-A|=$ ______。

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$2$。

三、矩阵方程（9 分）

设

$$A^*X=A^{-1}+2X,\qquad A= \begin{pmatrix} 1&1&-1\\ -1&1&1\\ 1&-1&1 \end{pmatrix},$$

其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$。

四、齐次线性方程组（8 分）

求齐次线性方程组

$$\begin{cases} x_1+2x_2-x_3+3x_4+x_5=0,\\ x_1+x_2-x_3+2x_4=0 \end{cases}$$

的解空间维数与一组基。

五、含参数线性方程组（12 分）

当 $a$ 取何值时，线性方程组

$$\begin{cases} x_1+x_2-x_3=1,\\ 2x_1+3x_2+a x_3=3,\\ x_1+a x_2+3x_3=2 \end{cases}$$

无解、有唯一解、有无穷多组解？当有无穷多组解时，求其通解。

六、正交变换（10 分）

已知实二次型 $f=X^TAX$ 经过正交代换 $X=QY$ 化为标准形

$$y_1^2+y_2^2-4y_3^2,$$

其中

$$Q=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),\qquad \alpha_3=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T,$$

求所用的正交代换。

七、证明题（10 分）

设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r$ 是线性方程组 $AX=0$ 的基础解系，向量 $\beta$ 满足 $A\beta\ne0$。证明向量组

$$\beta+\alpha_1, \beta+\alpha_2, \ldots, \beta+\alpha_r, \beta$$

线性无关。