2011–2012 学年第二学期期末真题

#真题

官方卷面日期为 2012 年 6 月 21 日。源目录另有《2012 年线性代数无答案》和《2011 年线代》两份内容相同的图像/重排版本，我逐题比对后只保留一篇。源材料没有答案，以下仅转写题目。

试卷共六道大题，考试时间 120120 分钟。第五题供理科院系作答，第六题供文科院系作答。

一、填空题（每题 3 分，共 24 分）

1. 矩阵多项式

设 nn 阶矩阵 AA 满足 A2+3A−E=0A^2+3A-E=0，则 (A+3E)−1=(A+3E)^{-1}= ______。

2. 矩阵方程

设

A=(21−12),A= \begin{pmatrix} 2&1\\ -1&2 \end{pmatrix},

EE 为 22 阶单位矩阵，矩阵 BB 满足 BA=B+2EBA=B+2E，则 ∣B∣=|B|= ______。

3. 最大线性无关组

设

α1=(0,0,−1,1)T,α2=(1,1,−1,0)T,α3=(−5,−5,5,0)T,\alpha_1=(0,0,-1,1)^T,\quad \alpha_2=(1,1,-1,0)^T,\quad \alpha_3=(-5,-5,5,0)^T,

则 α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 的一个最大线性无关组为 ______。

4. 基下坐标

在 R3\mathbb R^3 中，向量 α=(2,0,0)T\alpha=(2,0,0)^T 在基

α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T\alpha_1=(1,1,0)^T,\quad \alpha_2=(1,0,1)^T,\quad \alpha_3=(0,1,1)^T

下的坐标为 ______。

5. 相似矩阵

已知

(20000101x)与(2000y000−1)\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&x \end{pmatrix} \quad\text{与}\quad \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&y&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}

相似，则 x=x= ______，y=y= ______。

6. 伴随矩阵的特征值

设 AA 为 nn 阶方阵，∣A∣≠0|A|\ne0，A∗A^* 为 AA 的伴随矩阵。若 AA 有特征值 λ\lambda，则 (A∗)2(A^*)^2 必有特征值 ______。

7. 交换两行

设 AA 为 nn 阶方阵，∣A∣≠0|A|\ne0。将 AA 的第 ii 行与第 jj 行互换得到矩阵 BB，则 AB−1=AB^{-1}= ______。

8. 正定二次型

若二次型

f(x1,x2,x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3f(x_1,x_2,x_3) =2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+t x_2x_3

是正定的，则 tt 的取值范围是 ______。

二、单项选择题（每题 3 分，共 24 分）

1. 数乘矩阵的行列式

设 AA 是 33 阶矩阵，∣A∣=1|A|=1，则 ∣(−2A)2∣=|(-2A)^2|=（　　）。

A. −64-64　B. 6464　C. −4-4　D. 44

2. 方阵乘积

设 A,BA,B 是两个 nn 阶矩阵，满足 (AB)2=E(AB)^2=E，则（　　）成立。

A. AB=EAB=E　B. ∣A∣∣B∣=−1|A||B|=-1　C. AB=BAAB=BA　D. (BA)2=E(BA)^2=E

3. 向量组的秩

若 nn 维基本单位向量组 ε1,ε2,…,εn\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n 可由 nn 维向量组 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n 线性表出，则向量组 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n 的秩（　　）。

A. 小于 nn　B. 大于 nn　C. 等于 nn　D. 很难说

4. 非齐次方程组

若方程组 AX=0AX=0 只有零解，则 AX=βAX=\beta（β≠0\beta\ne0）（　　）。

A. 必有无穷多组解　B. 必有唯一解　C. 必定没有解　D. A、B、C 都不对

5. 子空间维数

向量空间

V={(x1,x2,…,xn)∣x1+x2+⋯+xn=0}V=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid x_1+x_2+\cdots+x_n=0\}

的维数是（　　）。

A. nn　B. 11　C. n−1n-1　D. 44

6. 合同与相似

设

A=(1111111111111111111111111),B=(5000000000000000000000000).A= \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 5&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}.

则 AA 与 BB（　　）。

A. 合同且相似　B. 合同但不相似　C. 不合同但相似　D. 不合同且不相似

7. 零乘积

设 A,BA,B 为满足 AB=0AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（　　）。

A. AA 的列向量线性相关，BB 的行向量线性相关

B. AA 的列向量线性相关，BB 的列向量线性相关

C. AA 的行向量线性相关，BB 的行向量线性相关

D. AA 的行向量线性相关，BB 的列向量线性相关

8. 惯性指数

二次型

f(x1,x2,x3)=x12+2x22+x32−2x1x2f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+x_3^2-2x_1x_2

的正惯性指数、负惯性指数与符号差分别是（　　）。

A. 0,3,30,3,3　B. 3,3,03,3,0　C. 3,0,33,0,3　D. 0,0,20,0,2

三、计算题（共 13 分）

1. 行列式（4 分）

已知三阶行列式 ∣α,β,γ∣=3|\alpha,\beta,\gamma|=3，求

∣3α−β+2γ,−α+β+γ,2α+5β−7γ∣.|3\alpha-\beta+2\gamma, -\alpha+\beta+\gamma, 2\alpha+5\beta-7\gamma|.

2. 矩阵方程（9 分）

设

A=(010−111−10−1),B=(1−1205−3).A= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ -1&1&1\\ -1&0&-1 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 1&-1\\ 2&0\\ 5&-3 \end{pmatrix}.

矩阵 XX 满足 X=AX+BX=AX+B，求 XX。

四、讨论题（13 分）

设方程组

{ax1+x2+x3=4,x1+bx2+x3=3,x1+2bx2+x3=4.\begin{cases} a x_1+x_2+x_3=4,\\ x_1+b x_2+x_3=3,\\ x_1+2b x_2+x_3=4. \end{cases}

问当 a,ba,b 取何值时：

  1. 方程组有唯一解；
  2. 方程组无解；
  3. 方程组有无穷多解，并求其通解（用解向量形式表示）。

五、综合题（理科院系作答，共 26 分）

1. 二次型（14 分）

已知二次型

f(x1,x2,x3)=x12+tx22+2x32+2x1x2f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+t x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2

的秩为 22。

  1. 求 tt，并写出二次型对应的矩阵 AA；
  2. 求正交变换 x=Qyx=Qy，把二次型化为标准型。

2. 证明题（每题 6 分，共 12 分）

  1. 设 AA 为 2n+12n+1 阶正交矩阵，且 ∣A∣=1|A|=1，试证：AA 必有特征值 11。
  2. 设 AA 为 nn 阶方阵，A∗A^* 为 AA 的伴随矩阵，数 a≠0a\ne0。当 R(A)=n−1R(A)=n-1 时，证明 R(aA∗)=1R(aA^*)=1。

六、综合题（文科院系作答，共 26 分）

1. 线性方程组（12 分）

求齐次线性方程组

{x1+2x2−x3+2x4=0,2x1+4x2+x3+x4=0,−x1−2x2−2x3+x4=0\begin{cases} x_1+2x_2-x_3+2x_4=0,\\ 2x_1+4x_2+x_3+x_4=0,\\ -x_1-2x_2-2x_3+x_4=0 \end{cases}

的一个基础解系，并写出通解。

2. 配方法化二次型（14 分）

试用配方法将二次型

f(x,y,z)=x2+2y2+5z2+2xy+2xz+6yzf(x,y,z)=x^2+2y^2+5z^2+2xy+2xz+6yz

化为标准形，并写出所用可逆线性变换。

评论