2014 年期末真题

#真题

源文件标题为《2014 年线代考题》，位于课程的往年期末题目录中，但没有附参考答案。我只转写原题，不补造答案。

一、单项选择题

  1. 设 A,BA,B 为 nn 阶方阵，则必有（　　）。

    A. ∣A+B∣=∣A∣+∣B∣|A+B|=|A|+|B|　B. ∣AB∣=∣BA∣|AB|=|BA|　C. AB=BAAB=BA　D. (A+B)−1=A−1+B−1(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}

  2. 设

    A=(00A10A20A300),A=\begin{pmatrix}0&0&A_1\\0&A_2&0\\A_3&0&0\end{pmatrix},

    其中 A1,A2,A3A_1,A_2,A_3 为方阵，且 ∣A∣≠0|A|\ne0，则 A−1=A^{-1}=（　　）。

    A. (00A1−10A2−10A3−100)\begin{pmatrix}0&0&A_1^{-1}\\0&A_2^{-1}&0\\A_3^{-1}&0&0\end{pmatrix}

    B. diag⁡(A1−1,A2−1,A3−1)\operatorname{diag}(A_1^{-1},A_2^{-1},A_3^{-1})

    C. (00A3−10A2−10A1−100)\begin{pmatrix}0&0&A_3^{-1}\\0&A_2^{-1}&0\\A_1^{-1}&0&0\end{pmatrix}

    D. diag⁡(A3−1,A2−1,A1−1)\operatorname{diag}(A_3^{-1},A_2^{-1},A_1^{-1})

  3. 向量组

    (a+1,2,−6),(1,a,−3),(1,1,a−4)(a+1,2,-6),\qquad(1,a,-3),\qquad(1,1,a-4)

    线性无关，则 aa 的取值范围为（　　）。

    A. 00　B. a≠0a\ne0　C. 11　D. a≠1a\ne1

  4. 非齐次线性方程组 AX=bAX=b 有 nn 个未知数、mm 个方程，系数矩阵秩为 rr，则（　　）。

    A. 当 r=mr=m 时，方程组有解

    B. 当 r=nr=n 时，方程组必有唯一解

    C. 当 m=nm=n 时，方程组必有唯一解

    D. 当 r<nr<n 时，方程组有无穷多组解

  5. 设 A,BA,B 均为三阶方阵，AA 与 BB 相似，且 AA 的特征值为 2,3,42,3,4，则 (3B)−1(3B)^{-1} 的特征值为（　　）。

    A. 32,1,34\dfrac32,1,\dfrac34

    B. 6,9,126,9,12

    C. 23,1,43\dfrac23,1,\dfrac43

    D. 16,19,112\dfrac16,\dfrac19,\dfrac1{12}

  6. 设 A,BA,B 为 nn 阶矩阵，且 R(A)=R(B)R(A)=R(B)，则（　　）。

    A. AB=BAAB=BA

    B. 存在可逆矩阵 P,QP,Q，使 PAQ=BPAQ=B

    C. 存在可逆矩阵 PP，使 P−1AP=BP^{-1}AP=B

    D. 存在可逆矩阵 CC，使 CTAC=BC^TAC=B

  7. 设 α1,α2,…,αs\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s 均为 nn 维列向量，AA 为 m×nm\times n 矩阵，下列说法正确的是（　　）。

    A. 若 α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_s 线性相关，则 Aα1,…,AαsA\alpha_1,\ldots,A\alpha_s 线性相关

    B. 若 α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_s 线性相关，则 Aα1,…,AαsA\alpha_1,\ldots,A\alpha_s 线性无关

    C. 若 α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_s 线性无关，则 Aα1,…,AαsA\alpha_1,\ldots,A\alpha_s 线性相关

    D. 若 α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_s 线性无关，则 Aα1,…,AαsA\alpha_1,\ldots,A\alpha_s 线性无关

  8. 设 AA 为 nn（n≥2n\ge2）阶可逆矩阵，交换 AA 的第一、第二行得到 BB， A∗,B∗A^*,B^* 分别为其伴随矩阵，则（　　）。

    A. 交换 A∗A^* 的第一、第二列得到 B∗B^*

    B. 交换 A∗A^* 的第一列与第二行得到 B∗B^*

    C. 交换 A∗A^* 的第一、第二列得到 −B∗-B^*

    D. 交换 A∗A^* 的第一、第二行得到 −B∗-B^*

二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）

  1. nn 阶方阵 AA 有 nn 个线性无关的特征向量，是 AA 与对角矩阵相似的 ______ 条件。

  2. 设 nn 阶矩阵 AA 满足 A2−A−2E=0A^2-A-2E=0，则 A−1=A^{-1}= ______。

  3. 设 a,b,ca,b,c 互不相等，则向量组

    (1,a,a2,a3),(1,b,b2,b3),(1,c,c2,c3)(1,a,a^2,a^3),\quad(1,b,b^2,b^3),\quad(1,c,c^2,c^3)

    线性 ______。

  4. 设 AA 为 nn 阶方阵，特征值为 λ1,…,λn\lambda_1,\ldots,\lambda_n，则 ∣A−E∣=|A-E|= ______。

  5. 设

    α1=(0,0,−1,1)T,α2=(1,1,−1,0)T,α3=(−5,−5,5,0)T,\alpha_1=(0,0,-1,1)^T, \quad \alpha_2=(1,1,-1,0)^T, \quad \alpha_3=(-5,-5,5,0)^T,

    则 α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 的一个最大线性无关组为 ______。

  6. R3\mathbb R^3 的子空间

    W={(x1,x2,x3) | x1+x2−2x3=0,x1+3x2−4x3=0}W=\left\{(x_1,x_2,x_3)\ \middle|\ \begin{aligned} x_1+x_2-2x_3&=0,\\ x_1+3x_2-4x_3&=0 \end{aligned}\right\}

    的一组基为 ______。

  7. 从 R2\mathbb R^2 的基 α1=(1,0)T,α2=(1,−1)T\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(1,-1)^T 到基 β1=(1,1)T,β2=(1,2)T\beta_1=(1,1)^T,\beta_2=(1,2)^T 的过渡矩阵为 ______。

  8. 设 α\alpha 为三维列向量，若

    ααT=(1−11−11−11−11),\alpha\alpha^T= \begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix},

    则 αTα=\alpha^T\alpha= ______。

三、矩阵方程（10 分）

已知

A=(010−111−10−1),B=(010−111−10−1),A=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&1&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&1&1\\-1&0&-1\end{pmatrix},

且 X=AX+BX=AX+B，求 XX。

四、含参数线性方程组

设

{x1+x2+λx3=1,x1+λx2+x3=1,λx1+x2+x3=1.\begin{cases} x_1+x_2+\lambda x_3=1,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=1,\\ \lambda x_1+x_2+x_3=1. \end{cases}

分别讨论 λ\lambda 取何值时：

  1. 方程组有唯一解；
  2. 方程组无解；
  3. 方程组有无穷多解，并用解向量形式写出通解。

五、正交变换化二次型（16 分）

已知二次型

f=3x12+ax22+6x32+8x1x2−4x1x3+4x2x3f=3x_1^2+ax_2^2+6x_3^2+8x_1x_2-4x_1x_3+4x_2x_3

可通过正交变换化成标准形

f=7y12+7y22−2y32.f=7y_1^2+7y_2^2-2y_3^2.
  1. 写出二次型对应的矩阵 AA；
  2. 确定 aa；
  3. 求一个正交变换 x=Qyx=Qy，把二次型化为上述标准形。

六、证明题

  1. 设 AA 为 nn 阶实对称矩阵，若 A3=0A^3=0，证明 A=0A=0。
  2. 设 AA 是 nn 阶实反对称矩阵，证明：当 a>0a>0 时， aE−A2aE-A^2 为正定矩阵，其中 EE 为单位阵。

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