2015–2016 学年第一学期期末真题

卷面日期为 2016 年 1 月 14 日。源文件名虽带“答案”，实际只在选择、填空和判断题旁标了答案，没有后续大题的解答；其中最后一道判断题的标记有误。我折叠呈现并核对客观题答案，计算与证明部分仅转写原题。

一、选择题（每小题 2 分，共 22 分）

1. 设 $A$ 为 $m\times n$（$m>n$）矩阵，则 $R(A)=$（　　）时，方程组 $AX=0$ 只有零解。

   A. $n-1$　B. $1$　C. $m$　D. $n$

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   选 D。

2. 设 $T$ 是 $\mathbb R^3$ 上的线性变换， $T(x_1,x_2,x_3)^T=(x_1+x_3,x_1,x_3)^T$。那么 $T$ 在基 $\{(1,1,0)^T,(1,0,1)^T,(0,0,1)^T\}$ 下的矩阵为（　　）。

   A. $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$

   B. $\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$

   C. $\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$

   D. $T$ 是可逆的

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   选 C。

3. 若三阶阵 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 的行列式 $|A|=1$，则 $|\alpha_1,3\alpha_2,\alpha_3-\alpha_1|=$（　　）。

   A. $2$　B. $1$　C. $3$　D. $-1$

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   选 C。

4. 向量组 $v_1=(1,1,1)^T,v_2=(1,1,-1)^T,v_3=(2,2,-2)^T$ 的一个极大无关组为（　　）。

   A. $v_1$　B. $v_1,v_2,v_3$　C. $v_1,v_2$ 或 $v_1,v_3$　D. $v_2,v_3$

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   选 C。

5. 若 $A$ 是 $n$ 阶实方阵，$x$ 是 $\mathbb R^n$ 中的列向量，则 $x^TA^TAx=$（　　）。

   A. 长度 $|Ax|$　B. 正数　C. 长度 $|x|$　D. $|Ax|^2$

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   选 D。

6. $A$ 为实 $m\times n$ 矩阵，下列说法正确的是（　　）。

   A. $R(A^TA)=R(A)$　B. $A^TA$ 不对称　C. $A^TA$ 为正定阵　D. $R(A^T)\ne R(A)$

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   选 A。

7. 设 $A=A_{m\times n}$，令 $W=\{x\in\mathbb R^n\mid Ax=0\}$，则 $\dim W+R(A)=$（　　）。

   A. $n-1$　B. $m-n$　C. $n$　D. $m$

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   选 C。

8. 设 $A,B$ 分别是 $m$ 阶与 $n$ 阶方阵，则

   $$\begin{vmatrix}B&0\\C&A\end{vmatrix}=\text{（　　）}.$$

   A. $|A||B|$　B. $-|AB|$　C. $0$　D. $(-1)^{mn}|A||B|$

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   选 A。

9. 实对称阵 $A$ 为正定阵的充要条件是（　　）。

   A. 全部特征值为正　B. $A$ 可逆　C. $|A|>0$　D. $A$ 满秩

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   选 A。

10. 设 $A$ 为 $n$ 阶正交阵，下列说法正确的是（　　）。

    A. $A^{-1}=A^T$　B. $A^T=A^*$　C. $|A|=-1$　D. $|A|=1$

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    选 A。

11. 二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2$ 是（　　）。

    A. 正定　B. 半正定　C. 负定　D. 不定

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    选 B。

二、填空题（每小题 2 分，共 8 分）

1. 设 $A$ 为三阶矩阵，则 $|-2A|+8|A|=$ ______。

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   $0$。

2. 设三阶阵 $A$ 的特征值为 $a,b,c$，则 $|A|+\operatorname{tr}(A)=$ ______。

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   $abc+a+b+c$。

3. 已知 $A,aE+A$ 均为正定矩阵，且 $A^2+3A-4E=0$，则实数 $a$ 满足 ______。

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   $a>-1$。

4. 设 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵， $M=\begin{pmatrix}E&C\\0&E\end{pmatrix}$，则 $M^{-1}=$ ______。

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   $$M^{-1}=\begin{pmatrix}E&-C\\0&E\end{pmatrix}.$$

三、判断题（每小题 1 分，共 12 分）

1. 方程组 $\begin{cases}x_1-2x_2+x_3=0\\x_1+x_2-2x_3=0\end{cases}$ 的基础解系为 $\{(1,1,1)^T\}$。

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   正确。

2. 初等变换不改变矩阵的秩。

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   正确。

3. 若 $P^{-1}AP$ 有定义，$f(x)$ 是多项式，则 $f(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P$。

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   正确。

4. 对 $n$ 阶方阵 $A$，$|A|=0\Longleftrightarrow R(A)<n \Longleftrightarrow Ax=0$ 有非零解。

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   正确。

5. 若方阵 $A,B$ 相似，则 $A,B$ 有相同的特征向量。

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   错误。

6. 正交变换在任意一组基下的矩阵是可逆阵。

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   正确。

7. 若 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A$ 可对角化。

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   正确。

8. 设三阶可逆阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，则 $A^{-1}$ 的特征值为 $\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\lambda_3^{-1}$。

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   正确。

9. 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 可由 $v_1,v_2$ 线性表示，则三者一定线性相关。

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   正确。

10. 设 $A=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$，$X=(x_1,\ldots,x_n)^T$，则 $AX=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n$。

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    正确。

11. 若矩阵 $A\ne0,B\ne0$，则 $AB\ne0$。

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    错误。

12. 若 $n$ 元方程组 $A_{m\times n}x=0$ 只有零解，则 $A_{m\times n}x=b$ 必有唯一解。

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    错误。齐次方程只有零解只说明非齐次方程至多有一个解，不保证任意 $b$ 都在 $A$ 的列空间中。源文件把本题标成了正确。

四、计算题（每小题 8 分，共 24 分）

1. 子空间的和与交

给定 $\mathbb R^4$ 的子空间 $W_1$ 的基 $\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 与 $W_2$ 的基 $\{\beta_1,\beta_2\}$，其中

$$\alpha_1=(1,1,0,0),\quad \alpha_2=(0,1,1,0),$$ $$\beta_1=(1,2,3,4),\quad \beta_2=(0,1,2,2).$$

1. 求 $W_1+W_2$ 的维数及一组基；
2. 求 $W_1\cap W_2$ 的维数及一组基，并把它扩充为 $W_1+W_2$ 的一组基。

2. 全一矩阵

设

$$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}.$$

1. 把 $A$ 分解为列向量与行向量的积，并计算 $A^{2013}$；
2. 求 $A$ 的全部特征值；
3. 求三个互相正交的特征向量。

3. 四阶循环矩阵

设

$$A=\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix}.$$

1. 求 $A$ 的特征多项式与特征值；
2. 求 $A^{-1}$；
3. 利用 $A^{-1}$ 求伴随阵 $A^*$。

五、求解题（每小题 5 分，共 10 分）

1. 极大无关组

设 $\mathbb R^4$ 中列向量 $v_1,\ldots,v_5$ 组成矩阵 $A=(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)$，经初等行变换后得到

$$B=\begin{pmatrix} 1&0&1&0&2\\ 0&1&1&0&1\\ 0&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}.$$

求一个极大无关组，并用它表示 $v_5$ 与 $v_3$。

2. 非齐次方程组的通解

设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是四元非齐次方程组 $AX=b$ 的三个解向量， $R(A)=3$，且

$$\alpha_1+\alpha_2=(2,6,6,2)^T, \qquad \alpha_2+\alpha_3=(2,4,4,2)^T.$$

分别求 $AX=0$ 与 $AX=b$ 的通解。

六、二次型（12 分）

设

$$A=\begin{pmatrix}1&-2&0\\-2&2&-2\\0&-2&3\end{pmatrix}.$$

1. 求特征多项式 $|A-\lambda E|$；
2. 求正交阵 $P$，使 $P^{-1}AP$ 为对角阵；
3. 用正交变换 $x=Py$ 把二次型 $f=x^TAx$ 化为标准形。

七、证明题（每小题 6 分，共 12 分）

1. 已知 $A+B=AB$，证明 $(A-E)^{-1}=B-E$，并证明 $AB=BA$。
2. 若 $A$ 是三阶正交阵，且 $|A|=-1$，证明 $-1$ 是 $A$ 的一个特征值； 并证明对任意列向量 $x\in\mathbb R^3$，都有 $|Ax|=|x|$。