2016–2017 学年第一学期期末真题

卷面日期为 2017 年 1 月 5 日。源题册在选择、填空和判断部分留有答案标记，但配套的“答案”文件没有计算题、求解题和证明题解析；并且若干标记与基本定理矛盾。我对可直接核验的客观题作了勘误并折叠展示，后面没有源解答的题只转写题面，不补造解析。

一、选择题（每小题 2 分，共 22 分）

1. 设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶方阵，$E$ 为单位阵。若 $B=E+AB$，$C=A+CA$，则 $B-C$ 为（　　）。

   A. $E$　B. $-E$　C. $A$　D. $-A$

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   选 A，与源标记一致。

2. 若三阶方阵 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 的行列式 $|A|=1$，则 $|\alpha_1,\alpha_2,3\alpha_3-\alpha_1|=$（　　）。

   A. $2$　B. $1$　C. $3$　D. $-1$

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   选 C，与源标记一致。

3. 设 $A$ 是 $4\times3$ 矩阵，$\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 是非齐次方程组 $Ax=\beta$ 的三个线性无关解，$k_1,k_2$ 为任意常数，则通解为（　　）。

   A. $\dfrac{\eta_1+\eta_2}{2}+k_1(\eta_2-\eta_1)$

   B. $\dfrac{\eta_2-\eta_3}{2}+k_2(\eta_2-\eta_1)$

   C. $\dfrac{\eta_2+\eta_3}{2}+k_1(\eta_3-\eta_1)+k_2(\eta_2-\eta_1)$

   D. $\dfrac{\eta_1-\eta_3}{2}+k_1(\eta_2-\eta_1)+k_2(\eta_3-\eta_1)$

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   选 C，与源标记一致。

4. 若 $A$ 是 $n$ 阶实方阵，$x$ 是 $\mathbb R^n$ 中的列向量，则 $x^TA^TAx=$（　　）。

   A. 长度 $|Ax|$　B. 正数　C. 长度 $|x|$　D. $|Ax|^2$

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   选 D，与源标记一致。

5. 设

   $$A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix},$$

   则 $A$ 与 $B$（　　）。

   A. 既合同又相似　B. 合同但不相似　C. 不合同但相似　D. 既不合同也不相似

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   选 B，与源标记一致。

6. 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A$ 可逆等价于（　　）。

   A. $\det(A)=0$　B. $R(A)=n$　C. $A^T$ 不可逆　D. $A$ 有零特征值

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   选 B，与源标记一致。

7. 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，令 $W=\{x\in\mathbb R^n\mid Ax=0\}$，则 $\dim W+R(A)=$（　　）。

   A. $n-1$　B. $m-n$　C. $m$　D. $n$

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   选 D。秩—零度定理给出 $\dim\ker A+R(A)=n$；源文件标为 C，是明显误标。

8. 设 $A,B$ 为满足 $AB=O$ 的任意两个非零矩阵，则必有（　　）。

   A. $A$ 的列向量组线性相关，$B$ 的行向量组线性相关

   B. $A$ 的列向量组线性相关，$B$ 的列向量组线性相关

   C. $A$ 的行向量组线性相关，$B$ 的行向量组线性相关

   D. $A$ 的行向量组线性相关，$B$ 的列向量组线性相关

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   选 A，与源标记一致。

9. 实对称阵 $A$ 为正定阵的充要条件是（　　）。

   A. $A$ 满秩　B. $A$ 可逆　C. $|A|>0$　D. $A$ 的全部特征值为正

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   选 D，与源标记一致。

10. 设 $A$ 为 $n$ 阶正交阵，下列说法正确的是（　　）。

    A. $A^T=A^*$　B. $A^{-1}=A^T$　C. $|A|=-1$　D. $|A|=1$

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    选 B。正交阵的定义就是 $A^{-1}=A^T$；行列式既可能是 $1$ 也可能是 $-1$。 源文件标为 A，但 $A^*=|A|A^{-1}$，只有 $|A|=1$ 时才等于 $A^T$。

11. 设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，$A^2=A$，$B^2=B$，且 $E-A-B$ 可逆，则（　　）。

    A. $R(A)>R(B)$　B. $R(A)<R(B)$　C. $R(A)=R(B)$　D. $R(A)\ne R(B)$

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    选 C，与源标记一致。

二、填空题（每小题 2 分，共 8 分）

1. 矩阵高次幂

$$\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}^{19} =\underline{\qquad}.$$

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$$\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

2. 外积与长度

设 $\alpha$ 是三维列向量，若

$$\alpha\alpha^T=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix},$$

则 $\alpha^T\alpha=$ ______。

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$3$。

3. 特征值与矩阵多项式

若三阶方阵 $A$ 满足

$$|A-E|=|A-2E|=|A+E|=0,$$

则 $|A^2+3E|=$ ______。

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$112$。

4. 正交矩阵的行列式

设 $A$ 是 $n$ 阶实正交阵，$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 为线性无关的 $n$ 维列向量。若 $(A+E)\alpha_1,\ldots,(A+E)\alpha_n$ 也线性无关， 则 $|A|=$ ______。

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$1$。

三、判断题（每小题 1 分，共 11 分）

1. 任意线性变换都可以把线性空间的一组基映为一组基。
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   错误；零变换就是反例。源标记为正确。
2. 初等列变换不改变矩阵的秩。
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   正确。
3. 若方阵 $A$ 可对角化，则属于不同特征值的特征子空间彼此正交。
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   错误；实对称阵才保证不同特征值的特征向量正交。
4. 若方阵 $A,B$ 合同，则 $A,B$ 有相同的特征值。
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   错误；合同保持惯性指数，不保持具体特征值。源标记为正确。
5. 正交变换在任意一组基下的矩阵都是正交阵。
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   错误；需要单位正交基。源标记为正确。
6. 任意 $n$ 阶方阵 $A,B$，$AB$ 和 $BA$ 具有相同的迹。
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   正确。
7. 设 $A$ 为实 $m\times n$ 矩阵，则 $R(A^TA)=R(A)$。
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   正确。
8. 若向量 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 可由 $v_1,v_2$ 线性表示，则 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 一定线性无关。
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   错误。
9. 若 $A$ 是正定矩阵，则 $A^{-1}+A^*$ 也是正定矩阵。
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   正确。
10. 设 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵，$R(A)+R(B)<n$，则 $A,B$ 有公共特征值和特征向量。
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    正确；两个零空间必有非零交，公共特征值可取 $0$。
11. 若 $n$ 元方程组 $A_{n\times n}x=0$ 只有零解，则 $A_{n\times n}x=b$ 必有唯一解。
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    正确；此时 $A$ 可逆。源标记为错误。

四、计算题（每小题 8 分，共 24 分）

1. 两个子空间的和与交

设 $\mathbb R^4$ 的两个子空间为

$$V_1=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)\mid a_1=a_2=a_3\},$$ $$V_2=L(x_1,x_2),\qquad x_1=(1,0,1,0),\quad x_2=(0,1,0,1).$$

1. 求 $V_1+V_2$ 的维数及一组基；
2. 求 $V_1\cap V_2$ 的维数及一组基。

2. 分块矩阵

设 $A$ 为 $n$ 阶可逆阵，$\alpha$ 为 $n$ 维列向量，$b$ 为常数。记

$$P=\begin{pmatrix}E&0\\-\alpha^TA^*&|A|\end{pmatrix}, \qquad Q=\begin{pmatrix}A&\alpha\\\alpha^T&b\end{pmatrix},$$

其中 $A^*$ 为伴随矩阵，$E$ 为单位阵。

1. 计算并化简 $PQ$；
2. 求 $Q$ 可逆的充要条件。

3. 参数向量组

设四维向量组

$$\alpha_1=(1+a,1,1,1)^T, \quad \alpha_2=(2,2+a,2,2)^T,$$ $$\alpha_3=(3,3,3+a,3)^T, \quad \alpha_4=(4,4,4,4+a)^T.$$

1. $a$ 为何值时，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性相关？
2. 在线性相关时，求一个极大无关组，并用它表示其余向量。

五、求解题（每小题 10 分，共 20 分）

1. 多项式空间上的线性变换

设次数不大于 $3$ 的多项式构成线性空间 $P_3[x]$，线性变换 $T$ 满足

$$T[f(x)]=(a_1+a_2)+(a_1+a_2)x+2(a_0+a_3)x^3,$$

其中 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$。

1. 在基 $(1,x,x^2,x^3)$ 下求 $T$ 的矩阵 $A$；
2. 判断 $A$ 能否相似对角化；若能，求相似变换矩阵及相似的对角阵；
3. 求 $P_3[x]$ 的另一组基，使 $T$ 在该基下的矩阵为对角阵。

2. 秩为二的二次型

已知二次型

$$f=(1-a)x_1^2+(1-a)x_2^2+2x_3^2+2(1+a)x_1x_2$$

的秩为 $2$。

1. 求二次型的矩阵及 $a$；
2. 求正交变换 $x=Qy$，把 $f$ 化成标准形；
3. 求方程 $f(x_1,x_2,x_3)=0$ 的解。

六、证明题（每小题 5 分，共 15 分）

1. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阶实矩阵，$E$ 是 $n$ 阶单位阵， $B=\lambda E+A^TA$。证明当 $\lambda>0$ 时，$B$ 为正定矩阵。
2. 设 $A$ 为 $n$ 阶可逆反对称阵，$b$ 为 $n$ 维列向量， $B=\begin{pmatrix}A&b\\b^T&0\end{pmatrix}$。证明 $R(B)=n$。
3. 设 $A,B$ 均为实对称阵。证明：存在正交阵 $Q$，使 $Q^{-1}AQ$ 与 $Q^{-1}BQ$ 同为对角阵，当且仅当 $AB=BA$。